Hiperkubus

Proyeksi perspektif
Kubus (Kubus 3D)	Tesseract (Kubus 4D)

Dalam geometri, Hiperkubus adalah analog dari ruang dimensi n dari sebuah Persegi pada bagian ( $1 = n = 2$ ) dan untuk bagian kubus pada ( $1 = n = 3$ ). Hal tersebut adalah dari himpunan tertutup dengan ruang kompak, polytope cembung hanya memiliki 1 kerangka terdiri dari kelompok berlawanan dengan parallel segmen garis disejajarkan di setiap dimensi ruang, tegak lurus satu sama lain dan memiliki panjang yang sama. Diagonal terpanjang sebuah hiperkubus dalam dimensi $n$ sama dengan ${\sqrt {n}}$ .^[1]^[2]

Konstruksi

Hiperkubus dapat didefinisikan dengan menambahkan jumlah dimensi suatu bangun:

0 – Titik merupakan hiperkubus berdimensi nol.

1 – Jika seseorang menggeser titik tersebut pada satuan panjang, maka akan terbentuk suatu ruas garis. Ruas garis tersebut merupakan hiperkubus berdimensi satu.

2 – Jika seseorang menggeser ruas garis tersebut yang arahnya tegak lurus dengannya, maka akan menghasilkan sebuah persegi yang merupakan bangun datar berdimensi dua.

3 – Jika seseorang menggeser persegi pada satuan panjang yang arahnya tegak lurus dengan bidang, maka akan terbentuk sebuah kubus yang merupakan bangun ruang berdimensi tiga.

4 – Jika seseorang menggeser kubus ke satuan panjang ke dimensi keempat, maka akan menghasilkan hiperkubus pada satuan berdimensi 4, yaitu satuan tesseract.

Hal tersebut dapat digeneralisasikan untuk sebarang dimensi. Proses tersebut dapat diformalkan secara matematis sebagai penjumlahan Minkowski: hiperkubus berdimensi $d$ sama dengan jumlah Minkowski dari $d$ ruas garis dengan panjang satuannya yang saling tegak lurus. Penjumlahan tersebut disebut sebagai zonotop (zonotope).

Koordinat titik sudut

Hiperkubus satuan berdimensi $n$ adalah merupakan selubung cembung (convex hull) dari suatu titik dengan $n$ koordinat Cartesius masing-masing sama dengan $0$ atau $1$ . Karena itu, hiperkubus juga merupakan darab Cartesius $[0,1]^{n}$ dari $n$ salinan dari interval satuan $[0,1]$ . Hiperkubus satuan lainnya, yang berpusat di titik asal dari ruang sekitar, dapat diperoleh dengan menggunakan translasi. Bangun tersebut merupakan selubung cembung dari titik yang vektor koordinat Cartesiusnya adalah $\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right).$ Di dalam koordinat tersebut, tanda $\pm$ mengartikan bahwa tiap-tiap koordinat sama dengan $1/2$ atau $-1/2$ . Satuan hiperkubus ini juga merupakan darab Cartesius $[-1/2,1/2]^{n}$ . Satuan hiperkubus memiliki edge yang panjangnya $1$ dan volume berdimensi- $n$ darinya adalah $1$ .

Elemen

Setiap dari Kubus pada- $n$ untuk $n > 0$ terdiri dari elemen atau Kubus pada- $n$ dari dimensi yang lebih rendah, pada bagian $n -1$ -permukaan dimensi pada hiperkubus dari induk. Sisi adalah elemen apa pun dari $n -1$ dimensi hiperkubus induk. Sebuah hiperkubus dimensi $n$ mempunyai $2 n$ sisi pada ( $a 1$ -garis dimensi memiliki $2$ titik ujung; bujur sangkar $2$ dimensi memiliki $4$ sisi atau tepi; kubus $3$ dimensi memiliki $6$ permukaan $2$ dimensi; Tesseract $4$ dimensi memiliki $8$ sel). Jumlah simpul (titik) dari hiperkubus adalah $2^{n}$ (kubus memiliki $2^{3}$ simpul, misalnya).

Jumlah dari $m$ -hiperkubus dengan dimensi pada batas sebuah $n$ -kubus adalah:

E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}

,^[3] darimana

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}

dan

n!

menunjukkan faktorial dari

n

.

Identitas tersebut dapat dibuktikan dengan argumen kombinatorial; masing-masing pada $2^{n}$ simpul mendefinisikan simpul dalam $m$ -batas dimensi. Ada ${n \choose m}$ cara memilih garis mana ("sisi") yang menentukan subruang di mana batasnya berada. Tapi, setiap sisi dihitung $2^{m}$ kali karena memiliki banyak simpul, kita perlu membaginya dengan nomor ini.

Identitas ini juga dapat digunakan untuk menghasilkan rumus $n$ -dimensi luas permukaan kubus. Luas permukaan hiperkubus adalah

2ns^{n-1}

.

Angka-angka tersebut juga dapat dihasilkan oleh relasi pengulangan linier

E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!

, with

E_{0,0}=1\!

, dan elemen tak terdefinisi (darimana

n<m

,

n<0

, atau

m<0

)

=0

.

Misalnya, memperluas persegi melalui 4 simpulnya menambahkan satu garis ekstra (sisi) per simpul, dan juga menambahkan kuadrat kedua terakhir, untuk membentuk sebuah kubus, memberikan $E_{1,3}\!$ = 12 baris secara total.

Elemen Hiperkubus $E_{m,n}\!$ (barisan A038207 pada OEIS)
			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	Kubus pada- $n$	Nama	Schläfli Coxeter	Puncak Wajah dari nilai- $0$	Tepi Wajah dari nilai- $1$	Wajah Wajah dari nilai- $2$	Sel Wajah dari nilai- $3$	Wajah dari nilai- $4$	Wajah dari nilai- $5$	Wajah dari nilai- $6$	Wajah dari nilai- $7$	Wajah dari nilai- $8$	Wajah dari nilai- $9$	Wajah dari nilai- $10$
0	Kubus pada nilai-0	Point Monon	( )	1
1	Kubus pada nilai-1	Segmen garis Dion^[4]	{}	2	1
2	Kubus pada nilai-2	Persegi Tetragon	{4}	4	4	1
3	Kubus pada nilai-3	Kubus Hexahedron	{4,3}	8	12	6	1
4	Kubus pada nilai-4	Tesseract Octachoron	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	Kubus pada nilai-5	Penteract Deka-5-tope	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	Kubus pada nilai-6	Hexeract Dodeka-6-tope	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	Kubus pada nilai-7	Hepteract Tetradeka-7-tope	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	Kubus pada nilai-8	Octeract Hexadeka-8-tope	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	Kubus pada nilai-9	Enneract Oktadeka-9-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	Kubus pada nilai-10	Dekeract Ikosa-10-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Grafik

- Dalam pengembangan -

Keluarga terkait dari polytopes

- Dalam pengembangan -

Hubungan dengan (n−1)-kesederhanaan

- Dalam pengembangan -

Generalisasi Hiperkubus

- Dalam pengembangan -

Lihat pula

Jaringan interkoneksi hiperkubus arsitektur komputer
Kelompok hiperoktahedral, kelompok simetri Hiperkubus
Hiperbola
Simpleks
Penyaliban (Corpus Hiperkubus) (karya seni terkenal)
{{Stage short}}

Catatan

^ Elte, E. L. (1912). "IV, Polytope semiregular lima dimensi". Polytope Semiregular dari RuangHiper. Belanda: University of Groningen. ISBN 141817968X.
^ Coxeter 1973, hlm. 122-123, §7.2 lihat ilustrasi Gambar 7.2C.
^ Coxeter 1973, hlm. 122, §7·25.
^ Johnson, Norman W.; Geometri dan Transformasi, Cambridge University Press, 2018, p.224.

Referensi

Bowen, J. P. (April 1982). "Hypercube". Practical Computing. 5 (4): 97–99. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-06-30. Diakses tanggal June 30, 2008.
Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (edisi ke-3rd). §7.2. see illustration Fig. 7-2C: Dover. hlm. 122-123. ISBN 0-486-61480-8. p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)
Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson (1974). Introduction to Switching Theory and Logical Design: Second Edition. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-39882-9. Cf Chapter 7.1 "Cubical Representation of Boolean Functions" wherein the notion of "hypercube" is introduced as a means of demonstrating a distance-1 code (Gray code) as the vertices of a hypercube, and then the hypercube with its vertices so labelled is squashed into two dimensions to form either a Veitch diagram or Karnaugh map.