Distribució de Bates

Distribució de Bates

Funció de densitat de probabilitat Cas ${\displaystyle a=0,\ b=1}$
Funció de distribució de probabilitat Cas ${\displaystyle a=0,\ b=1}$
Tipus	distribució de probabilitat i distribució de probabilitat simètrica
Epònim	Grace Bates
Paràmetres	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty }$ ${\displaystyle n\geq 1}$ nombre natural
Suport	${\displaystyle x\in [a,b]}$
fdp	vegeu text
Esperança matemàtica	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
Variància	${\displaystyle {\tfrac {1}{12n}}(b-a)^{2}}$
Coeficient de simetria	${\displaystyle 0}$
Curtosi	${\displaystyle -{\tfrac {6}{5n}}}$
FC	${\displaystyle \left(-{\frac {in(e^{\tfrac {ibt}{n}}-e^{\tfrac {iat}{n}})}{(b-a)t}}\right)^{n}}$

En teoria de la probabilitat i estadística, la distribució de Bates, que duu el nom de Grace E. Bates,^[1] és la distribució de probabilitat de la mitjana de n variables aleatòries independents, cadascuna amb distribució uniforme en l'interval unitat [0,1].^[2] Aquesta distribució està relacionada amb la distribució d'Irwin–Hall,^[2] que és la distribució de la suma de n variables aleatòries independents amb distribució uniforme a l'interval [0,1], i, a vegades, es confonen ambdues.^[3] Malgrat els noms de Bates, Irwing i Hall, aquesta mena de distribucions van ser estudiades per Joseph Luis Lagrange el 1770 ^[4] i per Nicolai Lobatxevski el 1832,^[5] i redescobertes per nombrosos autors.^[6]

Siguin ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{n}}$ variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme en l'interval [0,1]. Designem per ${\displaystyle M_{n}}$ la mitjana d'aquestes variables: $${\displaystyle M_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}U_{j}.}$$ La distribució de ${\displaystyle M_{n}}$ és coneguda com a distribució de Bates. És una distribució contínua amb funció de densitat^[7]$${\displaystyle f_{M_{n}}(x)={\begin{cases}{\dfrac {n^{n}}{(n-1)^{n}}}\displaystyle {\sum _{k=0}^{[nx]}}(-1)^{k}{\dbinom {n}{k}}{\Big (}x-{\dfrac {k}{n}}{\Big )}^{n-1},&\ {\text{si}}\ x\in [0,1],\\\\0,&{\text{en cas contrari}},\end{cases}}}$$on ${\displaystyle [r]}$ és la part entera del nombre real ${\displaystyle r}$ .

Alternativament ^[8] $${\displaystyle f_{M_{n}}(x)={\frac {n^{n}}{(n-1)^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Big (}x-{\frac {k}{n}}{\Big )}_{+}^{n-1},\ x\in [0,1],}$$on $${\displaystyle r_{+}^{m}={\begin{cases}r^{m},&{\text{si}}\ r>0\\0,&{\text{en cas contrari}}.\end{cases}}}$$Ambdues expressions són equivalents, ja que a la segona expressió, per a ${\displaystyle j=[nx]+1,\dots ,n}$, tenim que ${\displaystyle x-j/n<0}$.

Sigui ${\displaystyle S_{n}}$ la suma de ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{n}}$ : $${\displaystyle S_{n}=\sum _{j=1}^{n}U_{j},}$$ que té una distribució d'Irwin-Hall, i designem per ${\displaystyle f_{S_{n}}(x)}$ la seva funció de densitat. Tenim que $${\displaystyle M_{n}={\frac {1}{n}}\,S_{n}.}$$Per la fórmula de canvi de variables per a variables aleatòries amb densitat tenim que $${\displaystyle f_{M_{n}}(x)=n\,f_{S_{n}}(nx).}$$Per tant, la fórmula de ${\displaystyle f_{M_{n}}(x)}$ es dedueix de la ${\displaystyle f_{S_{n}}(x)}$ a la pagina de la distribució d'Irwin-Hall on també hi ha les demostracions corresponents.

Totes les propietats de la distribució de Bates (moments, funció característica,....) es dedueixen de les corresponents propietats de les distribucions uniformes i de la independència de ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{n}}$.

Com a la secció anterior, designem per ${\displaystyle f_{M_{n}}(x)}$ la funció de densitat de Bates

Siguin ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}}$ variables aleatòries independents, amb distribució uniforme en l'interval ${\displaystyle [a,b]}$, amb ${\displaystyle a<b}$, sigui ${\displaystyle f_{M_{n}}(x;a,b)}$ la funció de densitat de la mitjana ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}V_{n}}$ aleshores $${\displaystyle f_{M_{n}}(x;a,b)={\frac {1}{b-a}}\,f_{M_{n}}{\Big (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Big )},\ x\in [a,b].}$$

Tal com mostra el gràfic del principi de la pàgina, a l'augmentar ${\displaystyle n}$, la distribució de Bates s'assembla cada cop més a una distribució normal. Això és degut al fet que podem aplicar el teorema central del límit. Concretament, considerem el cas general que hem considerat a l'apartat anterior amb ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}}$ amb distribució uniforme en l'interval ${\displaystyle [a,b]}$, i $${\displaystyle M_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}V_{j}\quad {\text{i}}\quad S_{n}=\sum _{j=1}^{n}V_{j}.}$$Atès que $${\displaystyle E[V_{j}]={\frac {a+b}{2}}\quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(V_{j})={\frac {(b-a)^{2}}{12}},}$$tindrem que $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {12n}}\,\,{\frac {M_{n}-(a+b)/2}{b-a}}=Z,\ {\text{en distribució}},}$$on ${\displaystyle Z}$ te una distribució normal estàndard ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ . També es diu que ${\displaystyle M_{n}}$ és asimptòticament normal amb mitjana ${\displaystyle (a+b)/2}$ i variància ${\displaystyle (b-a)^{2}/(12n)}$ : $${\displaystyle M_{n}\sim {\mathcal {AN}}{\bigg (}{\frac {a+b}{2}},{\frac {(b-a)^{2}}{12n}}{\bigg )}.}$$

Lobatxevski considera el cas ${\displaystyle b=1}$ i ${\displaystyle a=-1}$ , és a dir, les variables de partida tenen distribució uniforme a l'interval ${\displaystyle [-1,1]}$, que interpreta com els errors en prendre mesures repetides de determinada quantitat (en unes unitats no especificades). Llavors la densitat de la seva mitjana és$${\displaystyle f_{M_{n}}(x;-1,1)={\frac {n}{2^{n}(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Big (}nx+n-2k{\Big )}_{+}^{n-1},\ x\in [-1,1].}$$ Vegeu Renyi ^[9] per a l'expressió de la densitat de la suma de variables independents uniformes en [-1,1].

D'acord amb Maistrov ,^[10] Lobatxevski tenia interès en aquesta distribució perquè volia estimar, tenint en compte els errors de mesura, si la suma dels angles d'un gran triangle astronòmic era menor que ${\displaystyle 180^{\circ }}$, amb la qual cosa es tindria una prova que la geometria de l'univers era no euclidiana hiperbòlica. Vegeu Brylevskaya.^[11]

• Distribució d'Irwin-Hall
• Distribució normal
• Teorema del límit central
• Distribució uniforme contínua

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 2. 2a edició. Nova York: Wiley, 1995. ISBN 0-471-58494-0.