Chancenverhältnis

Das Chancenverhältnis, auch relative Chance,^[1] Quotenverhältnis, Odds-Ratio (kurz OR^[2]), oder selten Kreuzproduktverhältnis genannt, ist eine statistische Maßzahl, die etwas über die Stärke eines Zusammenhangs von zwei Merkmalen aussagt. Es ist damit ein Assoziationsmaß,^[3] bei dem zwei Chancen miteinander verglichen werden. Das Chancenverhältnis ist von der Randverteilung unabhängig.^[4][5]

Anzahl der Personen …

	mit Risikofaktor (F)	ohne Risikofaktor (Fc)	Randtotale
erkrankt (K)	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a+b}$
nicht erkrankt (Kc)	${\displaystyle c}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle c+d}$
Randtotale	${\displaystyle a+c}$	${\displaystyle b+d}$	${\displaystyle a+b+c+d}$

Sei

${\displaystyle \mathbb {P} (K|F)=a/(a+c)=}$ die (geschätzte) bedingte Wahrscheinlichkeit zu erkranken, wenn der betreffende Risikofaktor vorliegt.

${\displaystyle \mathbb {P} (K|F^{c})=b/(b+d)=}$ die (geschätzte) bedingte Wahrscheinlichkeit zu erkranken, wenn der betreffende Risikofaktor nicht vorliegt.

Dann ist die Chance ${\displaystyle R}$ (auch ${\displaystyle \operatorname {Odds} }$-Funktion genannt)

${\displaystyle R(F)=\operatorname {Odds} (F):={\frac {\mathbb {P} (K|F)}{1-\mathbb {P} (K|F)}},}$

das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit und ihrer Gegenwahrscheinlichkeit.

Das Chancenverhältnis (odds ratio, OR) ist das Verhältnis zweier Chancen berechnet:

${\displaystyle \operatorname {OR} (F:F^{c})={\frac {R(F)}{R(F^{c})}}={{\mathbb {P} (K|F) \over {1-\mathbb {P} (K|F)}} \over {\mathbb {P} (K|F^{c}) \over {1-\mathbb {P} (K|F^{c})}}}={{\mathbb {P} (K|F)\cdot (1-\mathbb {P} (K|F^{c}))} \over {\mathbb {P} (K|F^{c})\cdot (1-\mathbb {P} (K|F))}}.}$

Ein Chancenverhältnis von

• genau 1 bedeutet, dass es keinen Unterschied in den Chancen gibt,
• >1 bedeutet, dass die Chancen der ersten Gruppe größer sind,
• <1 bedeutet, dass die Chancen der ersten Gruppe kleiner sind.

Das Chancenverhältnis wird häufig in Epidemiologie und Medizin verwendet, um zu erfahren, wie stark ein vermuteter Risikofaktor mit einer bestimmten Erkrankung zusammenhängt. Der Vorteil von Chancenverhältnissen gegenüber dem Risikoverhältnis ist, dass man es bei allen Studiendesigns anwenden kann, also sowohl bei Fall-Kontroll-Studien, als auch bei Querschnitt- und Interventionsstudien.

Typischerweise vergleicht man dabei Personen mit einem potentiellen Risikofaktor für eine Erkrankung mit Personen ohne diesen Risikofaktor bzgl. des Auftretens ebenjener Erkrankung. Die gewonnenen Daten werden in einer Kreuztabelle dargestellt, die es auch leicht macht, die Chancenverhältnisse direkt zu errechnen:

Es gilt dann:

${\displaystyle \mathrm {Odds\ Ratio} ={\frac {\frac {a}{c}}{\frac {b}{d}}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}}$

Das Chancenverhältnis ist ein Maß dafür, um wie viel größer die Chance in der Gruppe mit Risikofaktor ist, zu erkranken (im Sinne einer Quote), verglichen mit der Chance in der Gruppe ohne Risikofaktor. Das Chancenverhältnis nimmt Werte zwischen 0 und ∞ an. Ein Wert von 1 bedeutet ein gleiches Chancenverhältnis.

Angenommen, man möchte den Zusammenhang zwischen dem Auftreten von Herzinfarkten und Rauchen untersuchen. Man beobachtet 10.000 Patienten und stellt fest, ob sie rauchen oder nicht und ob sie schon einmal einen Herzinfarkt erlitten haben. Es ergibt sich folgende Kreuztabelle:

Von 2000 Personen die rauchen, haben also 130 einen Herzinfarkt erlitten. Es ergibt sich das Chancenverhältnis

${\displaystyle \mathrm {Odds\ Ratio} ={\frac {130\cdot 7930}{70\cdot 1870}}\approx 7{,}88}$

Das heißt, die Chance einen Herzinfarkt zu erleiden ist unter Rauchern fast 8-mal so hoch wie unter Nichtrauchern. Es muss an dieser Stelle jedoch auf den mathematischen Unterschied zwischen Chance und Risiko hingewiesen werden. Aufgrund der besseren Interpretierbarkeit sollte falls möglich das relative Risiko (s. u.) statt der Odds Ratio angegeben werden.^[6]

Anders als das relative Risiko bezieht sich das Chancenverhältnis auf Quoten und nicht auf Wahrscheinlichkeiten.

Folgendes Beispiel soll den Unterschied zwischen Chancenverhältnis und relativem Risiko erläutern:

Die Depression mit den Kategorien „ja“ und „nein“ ist die Risikovariable, das Geschlecht mit den Kategorien „weiblich“ und „männlich“ die unabhängige (ursächliche) Variable.

Bei den Frauen beträgt die Prävalenz ${\displaystyle 40:(40+143)=0{,}219\,}$

Bei den Männern beträgt die Prävalenz ${\displaystyle 10:(10+101)=0{,}09\,}$

Das relative Risiko ist der Quotient aus den Prävalenzen ${\displaystyle 0{,}219:0{,}090=2{,}43\,}$

Das Chancenverhältnis hingegen berechnet man folgendermaßen:^[7]

Bei den Frauen beträgt die „Quote“ ${\displaystyle 40:143=1:3{,}58=0{,}280\,}$

Bei den Männern beträgt die „Quote“ ${\displaystyle 10:101=1:10{,}1=0{,}099\,}$

Das Chancenverhältnis ist der Quotient aus den „Quoten“ ${\displaystyle 0{,}280:0{,}099=2{,}83\,}$.

Oder einfacher: ${\displaystyle (40\cdot 101):(143\cdot 10)=2{,}83\,}$.

KI_OR=[${\displaystyle e}$^{ln(OR) - ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \cdot }$ Standardfehler der OR}; ${\displaystyle e}$^{ln(OR) + ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \cdot }$ Standardfehler der OR}]

Der Standardfehler des Chancenverhältnisses berechnet sich, indem man aus der Summe der Brüche ${\displaystyle {\sqrt {1/a+1/b+1/c+1/d}}}$ die Wurzel zieht. Die lateinischen Buchstaben stehen hierbei für die Felder der Vierfeldertafel.^[8]

Weitere Maße sind Yules Q und Yules Y (1912^[9]), die George Udny Yule um 1900^[10] veröffentlichte.^[11]

Das vorgeschlagene Assoziationsmaß ${\displaystyle Q}$ (Yules ${\displaystyle Q}$) lässt sich als eine Transformation des Chancenverhältnis darstellen (${\displaystyle Q=(OR-1)/(OR+1)}$), durch die das Chancenverhältnis auf das Intervall zwischen ${\displaystyle -1}$ und ${\displaystyle +1}$ normiert wird,^[12] wobei ${\displaystyle Q=0}$, wenn beide Variablen statistisch voneinander unabhängig sind.

Yules Y berechnet sich so:^[13]

${\displaystyle Y=({\sqrt {OR}}-1)/({\sqrt {OR}}+1)}$.

• Blogbeitrag in Deutscher Sprache zur Interpretation von Odds Ratios
• Online Rechner für Odds Ratios

1. ↑ Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 114.
2. ↑ Heinz Holling, Bernhard Schmitz: Handbuch Statistik, Methoden und Evaluation. Hogrefe Verlag, 2010, ISBN 978-3-8409-1848-3, S. 295 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
3. ↑ Kapitel Kreuzproduktverhältnis (Odds Ratio) (Memento des Originals vom 2. Juni 2007 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/psydok.sulb.uni-saarland.de im Glossar zur Datenerhebung und statistischen Analyse (Memento des Originals vom 29. April 2007 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/psydok.sulb.uni-saarland.de (abgerufen am 6. Januar 2008)
4. ↑ G. Arminger, Clifford C. Clogg, M. E. Sobel: Handbook of Statistical Modeling for the Social and Behavioral Sciences. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-1-4899-1292-3, S. 260 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
5. ↑ Martin Groß: Klassen, Schichten, Mobilität: Eine Einführung. Springer-Verlag, 2014, ISBN 978-3-531-19943-6, S. 137 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
6. ↑ Anthony J. Viera: Odds ratios and risk ratios: what's the difference and why does it matter? In: Southern Medical Journal. Band 101, Nr. 7, Juli 2008, ISSN 1541-8243, S. 730–734, doi:10.1097/SMJ.0b013e31817a7ee4, PMID 18580722. 
7. ↑ Achim Bühl, Peter Zöfel: SPSS 12. Pearson Studium, München 2005
8. ↑ Juan Klopper:Calculating the odds ratio and confidence intervals, rpubs; zuletzt abgerufen am 1. Februar 2023
9. ↑ Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik; mit zahlreichen, vollständig durchgerechneten Beispielen. Oldenbourg Verlag, 2005, ISBN 978-3-486-57890-4, S. 444 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
10. ↑ Elmar Klemm: Einführung in die Statistik: Für die Sozialwissenschaften. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-83376-1, S. 276 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
11. ↑ Stephan Hagemann: Maßzahlen für die Assoziationsanalyse im Data Mining: Fundierung, Analyse und Test. Diplomica Verlag, 2008, ISBN 978-3-8366-5718-1, S. 25 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
12. ↑ Elmar Klemm: Einführung in die Statistik: Für die Sozialwissenschaften. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-83376-1, S. 277 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
13. ↑ Franz Petermann, Michael Eid: Handbuch der Psychologischen Diagnostik. Hogrefe Verlag, 2006, ISBN 978-3-8409-1911-4, S. 372 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).