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In der Mathematik ist ein Coxeter-Komplex ein aus einem Coxeter-System ${\displaystyle (W,S)}$ konstruierter Simplizialkomplex, der die Wirkung der Coxetergruppe ${\displaystyle W}$ geometrisch und kombinatorisch darstellt. Die Erzeuger aus ${\displaystyle S}$ wirken dabei als Spiegelungen und zerlegen den zugrunde liegenden Raum in sogenannte Kammern. Der Coxeter-Komplex besteht aus diesen Kammern und ihren gemeinsamen Seiten. Coxeter-Komplexe erlauben die Konstruktion von Gebäuden, in denen sie als Apartments auftreten.

Coxeter-Komplexe sind nach H. S. M. Coxeter benannt.

Für die Konstruktion eines Coxeterkomplexes zu einem Coxertersystem ${\displaystyle (W,S)}$ betrachtet man besondere Nebenklassen von Untergruppen von ${\displaystyle W}$. Eine Untergruppe der Form ${\displaystyle W_{J}=\langle J\rangle }$ von ${\displaystyle W}$, erzeugt von einer Teilmenge ${\displaystyle J\subset S}$, heißt spezielle Untergruppe von ${\displaystyle W}$. Die Nebenklasssen ${\displaystyle wW_{J}}$ von ${\displaystyle W_{J}}$, für belibige ${\displaystyle w\in W}$, heißen spezielle Nebenklassen von ${\displaystyle W}$.

Die Menge aller speziellen Nebenklassen von ${\displaystyle W}$ bilden mit der umgekehrten Inklusion eine partiell geordnete Menge ${\displaystyle \Sigma (W,S)}$. Je zwei Elemente von ${\displaystyle \Sigma (W,S)}$ haben eine größte gemeinsame untere Schranke und die Teilmenge aller Elemente kleiner oder gleich eines bestimmten Elementes steht in ordnungserhaltender Bijektion zur Potenzmenge einer endlichen Menge.

Diese Eigenschaften machen ${\displaystyle \Sigma (W,S)}$ zu einem Simplizialkomplex.

Coxeterkomplexe sind Kammernkomplexe, die topdimensionalen Simplizes sind gerade die kleinsten Nebenklassen und somit von der Form ${\displaystyle w<\emptyset >=\{w\}}$. Diese werden auch Kammern genannt. Die Kammer ${\displaystyle \{e\}}$, wobei ${\displaystyle e}$ das neutrale Element ist, heißt Fundamentalkammer.

Die Dimension des Koplexes hängt vom Rang des Coxetersystems ab und ist durch ${\displaystyle |S|-1}$ gegeben.

Durch die Zuordnung ${\displaystyle \lambda (w<J>):=S\setminus J}$ erhält man eine Färbung des Komplexes.

${\displaystyle W}$ wirkt farberhaltend auf ${\displaystyle \Sigma (W,S)}$ durch einfache Linksmultiplikation der Nebenklassen.

Im Coxeterkomplex findet sich auch der Cayley-Graph der Gruppe bzgl. des Erzeugendensystems wieder. Die Knotenmenge entspricht dabei der Kammernmenge und zwei verschiedene Knoten sind durch eine Kante verbunden, wenn die Kammern eine Kodimension 1 Seite gemeinsam haben.

• Peter Abramenko and Kenneth S. Brown, Buildings, Theory and Applications. Springer, 2008.