Das Fagnano-Problem ist das folgende nach Giovanni Fagnano benannte Optimierungsproblem.

Bestimme das in ein spitzwinkliges Dreieck einbeschriebene Dreieck minimalen Umfangs.

Hierbei versteht man unter einem einbeschriebenen Dreieck eines Dreiecks ${\displaystyle \triangle ABC}$ ein Dreieck ${\displaystyle \triangle GHI}$, dessen Ecken auf den Seiten Dreiecks ${\displaystyle \triangle ABC}$ liegen, das heißt ${\displaystyle G\in {\overline {AC}}}$, ${\displaystyle H\in {\overline {AB}}}$ und ${\displaystyle I\in {\overline {BC}}}$. Für das Höhenfußpunktdreieck ${\displaystyle \triangle DEF}$ gilt, dass sein Umfang geringer ist als der eines jeden anderen einbeschriebenen Dreiecks ${\displaystyle \triangle GHI}$. Somit ist es die Lösung des Fagnano-Problems.

Zunächst zeigte Giovanni Fagnanos Vater Giulio Carlo Fagnano, dass man zu einem beliebigen festen Punkt U auf ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ 2 Punkte V auf ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ und W auf ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ so konstruieren kann, dass der Umfang des Dreieckes ${\displaystyle \triangle UVW}$ minimal ist. Giovanni Fagnano verwandte dieses Resultat, um dann mit Hilfe der Differentialrechnung von allen möglichen U auf ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, dasjenige zu bestimmen, für das der Umfang des Dreieckes ${\displaystyle \triangle UVW}$ minimal wird. Später wurden auch mehrere elementargeometrische Beweise gefunden, unter anderem auch von Leopold Fejér und Hermann Amandus Schwarz. Diese Beweise verwenden meist Eigenschaften von Spiegelungen zur Bestimmung eines minimalen Weges.

• Heinrich Dörrie: Triumph der Mathematik. 100 berühmte Probleme aus 2 Jahrtausenden mathematischer Kultur. 2., ergänzte Auflage. F. Hirt, Breslau 1940, Problem 90.
• Paul J. Nahin: When Least is Best. How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible. Princeton University Press, Princeton NJ u. a. 2004, ISBN 0-691-07078-4, S. 67.
• H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
• Beweis des Satzes, dass unter allen einem spitzwinkligen Dreiecke eingeschriebenen Dreiecken das Dreieck der Höhenfusspunkte den kleinsten Umfang hat. In: Hermann Amandus Schwarz: Gesammelte mathematische Abhandlungen. Band 2. Berlin 1890, S. 344–345 Textarchiv – Internet Archive

• Wolfgang Zimmer: Eine offene Aufgabe zum Thema „Minimale Entfernungen“ (Sinus Materialien) (PDF; 141 kB)
• Fagnano-Problem auf cut-the-knot (englisch)
• Fagnano-Problem auf einer Website zur Dreiecksgeometrie (englisch)
• Eric W. Weisstein: Fagnano’s problem. In: MathWorld (englisch).