Der Halbperimetersatz ist ein Satz der euklidischen Geometrie, der den Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt eines tangentialen Polygons, seinem Halbperimeter und dem Inkreisradius beschreibt.^[1] Dabei ist ein tangentiales Polygon ein Polygon, das einen Inkreis besitzt, und der Halbperimeter ist der halbe Umfang des Polygons.

Sei ein tangentiales Polygon mit Flächeninhalt ${\displaystyle K}$, Halbperimeter ${\displaystyle p}$ und Inkreisradius ${\displaystyle r}$ gegeben. Dann gilt:

${\displaystyle K=pr}$.

Äquivalent dazu gilt:

${\displaystyle r={\frac {K}{p}}}$.

Sei ein tangentiales Polygon mit Inkreisradius ${\displaystyle r}$. Der Abstand des Inkreismittelpunktes zu jeder Seite beträgt ${\displaystyle r}$.

Das Polygon kann in Dreiecke zerlegt werden, deren Höhen jeweils ${\displaystyle r}$ und deren Grundseiten die Seitenlängen ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ sind:

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}a_{1}r+{\frac {1}{2}}a_{2}r+\cdots +{\frac {1}{2}}a_{n}r}$.

Durch Ausklammern von ${\displaystyle r}$ erhält man:

${\displaystyle K={\frac {r}{2}}(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})}$.

Da der Halbperimeter definiert ist als

${\displaystyle p={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$,

folgt:

${\displaystyle K=pr}$. ${\displaystyle \square }$

1. ↑ Agnieszka Krause, Mieczysław K. Mentzen, Piotr Jędrzejewicz: Miniatury matematyczne 86. Aksjomat, Thorn 2024, ISBN 978-83-66838-41-3, S. 7–24 (polnisch).