Hilbertalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um Algebren mit einer zusätzlichen Prä-Hilbertraum-Struktur, woraus sich der Name Hilbertalgebra erklärt. Auf der Vervollständigung lassen sich Von-Neumann-Algebren konstruieren, was letztlich zu einer Charakterisierung der semiendlichen Von-Neumann-Algebren führt. Eine Verallgemeinerung dieser Konstruktion, die für jede Von-Neumann-Algebra gilt, führt zum Begriff der verallgemeinerten Hilbertalgebra und ist Ausgangspunkt der Tomita-Takesaki-Theorie.

Eine Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra ${\displaystyle A}$ über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution ${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$ und einem Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$, das ${\displaystyle A}$ zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

• ${\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y^{*}|x^{*}\rangle }$ für alle ${\displaystyle x,y\in A}$
• ${\displaystyle \langle xy|z\rangle =\langle y|x^{*}z\rangle }$ für alle ${\displaystyle x,y,z\in A}$
• Für jedes ${\displaystyle x\in U}$ ist die Abbildung ${\displaystyle A\rightarrow A,\,y\mapsto xy}$ stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
• Aus ${\displaystyle \langle xy|z\rangle =0}$ für alle ${\displaystyle x,y\in A}$ folgt ${\displaystyle z=0}$.

Im Folgenden sei ${\displaystyle H}$ der Hilbertraum, der sich als Vervollständigung von ${\displaystyle A}$ ergibt. Aus der ersten Bedingung folgt, dass sich die Involution zu einer stetigen, konjugiert linearen Abbildung ${\displaystyle J:H\rightarrow H}$ fortsetzt, für die

${\displaystyle J^{2}=\mathrm {id} _{H}}$ und ${\displaystyle \langle Jx|Jy\rangle =\langle y|x\rangle }$ für alle ${\displaystyle x,y\in H}$

gilt, man nennt ${\displaystyle J}$ die kanonisch durch ${\displaystyle A}$ definierte Involution auf ${\displaystyle H}$.

Die Abbildungen ${\displaystyle y\mapsto xy}$ und ${\displaystyle y\mapsto yx}$ setzen sich für jedes ${\displaystyle x\in A}$ zu stetigen linearen Operatoren ${\displaystyle U_{x}:H\rightarrow H}$ und ${\displaystyle V_{x}:H\rightarrow H}$ fort, so dass gilt:

${\displaystyle x\mapsto U_{x}}$ ist ein involutiver Homomorphismus

${\displaystyle x\mapsto V_{x}}$ ist ein involutiver Antiomomorphismus

${\displaystyle U_{x}V_{y}=V_{y}U_{x}}$ für alle ${\displaystyle x,y\in A}$

${\displaystyle JU_{x}J=V_{x^{*}}}$ und ${\displaystyle JV_{x}J=U_{x^{*}}}$ für alle ${\displaystyle x\in A}$

Die abgeschlossenen Hüllen bzgl. der schwachen Operatortopologie von ${\displaystyle \{U_{x}|x\in A\}}$ und ${\displaystyle \{V_{x}|x\in A\}}$ werden mit ${\displaystyle U=U(A)}$ und ${\displaystyle V=V(A)}$ bezeichnet und heißen die links-assoziierte bzw. rechts-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu ${\displaystyle A}$. Zum Nachweis, dass es sich tatsächlich um Von-Neumann-Algebren handelt, insbesondere dass diese Algebren die Identität ${\displaystyle \mathrm {id} _{H}}$ enthalten, benötigt man die vierte Bedingung obiger Definition.^[1]

Man nennt eine Von-Neumann-Algebra eine Standard-von-Neumann-Algebra, wenn sie von der Form ${\displaystyle U(A)=}$ ist.^[2]

Die H*-Algebra ${\displaystyle A}$ der Hilbert-Schmidt-Operatoren auf einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ ist eine Hilbertalgebra. Bezeichnet ${\displaystyle {\overline {H}}}$ den konjugierten Hilbertraum, so ist ${\displaystyle A}$ isomorph zum Hilbertraum-Tensorprodukt ${\displaystyle {\overline {H}}\otimes H}$. Für ${\displaystyle \xi ,\eta \in H}$ ist ${\displaystyle \xi \otimes \eta }$ der eindimensionale Operator ${\displaystyle H\rightarrow H,(\xi \otimes \eta )\zeta :=\langle \zeta ,\eta \rangle \xi }$, wenn das Skalarprodukt in der ersten Komponente linear und in der zweiten konjugiert linear ist. Dann ist

${\displaystyle (\xi _{1}\otimes \eta _{1})(\xi _{2}\otimes \eta _{2})\zeta =(\xi _{1}\otimes \eta _{1})(\langle \zeta ,\xi _{2}\rangle \eta _{2})=\langle \zeta ,\xi _{2}\rangle \langle \eta _{2},\xi _{1}\rangle \eta _{1}=\langle \eta _{2},\xi _{1}\rangle (\xi _{2}\otimes \eta _{1})\zeta }$

und daher

${\displaystyle (\xi _{1}\otimes \eta _{1})(\xi _{2}\otimes \eta _{2})=\langle \eta _{2},\xi _{1}\rangle (\xi _{2}\otimes \eta _{1})}$,

also

${\displaystyle U_{\xi _{1}\otimes \eta _{1}}(\xi _{2}\otimes \eta _{2})=\langle \eta _{2},\xi _{1}\rangle (\xi _{2}\otimes \eta _{1})=\xi _{2}\otimes (\langle \xi _{1},\eta _{2}\rangle \eta _{1})}$

${\displaystyle =\xi _{2}\otimes ((\xi _{1}\otimes \eta _{1})\eta _{2})=(\mathrm {id} _{H}{\overline {\otimes }}(\xi _{1}\otimes \eta _{1}))(\xi _{2}\otimes \eta _{2})}$,

wobei das mit dem Querstrich bezeichnete Tensorprodukt das Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren sei. Daraus liest man

${\displaystyle U(A)=\mathbb {C} \cdot 1_{\overline {H}}\,{\overline {\otimes }}\,L(H)}$

ab, denn die Linearkombinationen aus den eindimensionalen Operatoren ${\displaystyle \xi _{1}\otimes \eta _{1}}$ liegen dicht in den jeweiligen Algebren.^[3]

Die Von-Neumann-Algebren, die als links-assoziierte Von-Neumann-Algebren von Hilbertalgebren auftreten, sind genau die semiendlichen Von-Neumann-Algebren.^[4] Ist ${\displaystyle A}$ eine Hilbertalgebra, so ist durch ${\displaystyle \phi (U_{a}^{*}U_{a}):=\langle a|a\rangle }$ eine semiendliche, normale, treue Spur gegeben, die ${\displaystyle U(A)}$ zu einer semiendlichen Von-Neumann-Algebra macht. Ist umgekehrt ${\displaystyle U}$ eine semiendliche Von-Neumann-Algebra mit einer solchen Spur, so ist ${\displaystyle A:=\{a\in U|\phi (a^{*}a)<\infty ,\phi (aa^{*})<\infty \}}$ mit dem durch ${\displaystyle \langle a|b\rangle :=\phi (b^{*}a)}$ definierten Skalarprodukt eine Hilbertalgebra, deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu ${\displaystyle U}$ isomorph ist.

Eine verallgemeinerte Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra ${\displaystyle A}$ über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution ${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$ und einem Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$, das ${\displaystyle A}$ zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

• Die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$ ist ein abschließbarer, konjugiert-linearer Operator in der Vervollständigung ${\displaystyle H}$.
• ${\displaystyle \langle xy|z\rangle =\langle y|x^{*}z\rangle }$ für alle ${\displaystyle x,y,z\in A}$
• Für jedes ${\displaystyle x\in U}$ ist die Abbildung ${\displaystyle A\rightarrow A,\,y\mapsto xy}$ stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
• Aus ${\displaystyle \langle xy|z\rangle =0}$ für alle ${\displaystyle x,y\in A}$ folgt ${\displaystyle z=0}$.^[5]

Verallgemeinerte Hilbertalgebren werden auch links-Hilbertalgebren genannt.^[6]

Hilbertalgebren sind verallgemeinerte Hilbertalgebren. Dazu muss man zeigen, dass die Abbildung ${\displaystyle A\rightarrow A}$, ${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$ abschließbar ist, das heißt aus ${\displaystyle x_{n}\rightarrow 0}$ und ${\displaystyle x_{n}^{*}\rightarrow z}$ bereits ${\displaystyle z=0}$ folgt. Für jedes ${\displaystyle y\in A}$ folgt unter Anwendung der ersten definierenden Eigenschaft einer Hilbertalgebra

${\displaystyle \langle z,y\rangle =\lim _{n\to \infty }\langle x_{n}^{*},y\rangle =\lim _{n\to \infty }\langle y^{*},x_{n}\rangle =\langle y^{*},0\rangle =0}$

und daher ${\displaystyle z=0}$, denn ${\displaystyle y\in A}$ war beliebig, das heißt ${\displaystyle z}$ steht senkrecht auf einer dichten Teilmenge der Vervollständigung.

Wie oben setzen sich die Abbildungen ${\displaystyle y\mapsto xy}$ zu Operatoren ${\displaystyle U_{x}}$ auf ${\displaystyle H}$ fort, ihre schwach-abgeschlossene Hülle bildet die links-assoziierte Von-Neumann-Algebra von ${\displaystyle A}$. Der Abschluss ${\displaystyle S}$ der Abbildung ${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$ heißt Sharp-Operator, weshalb die Involution von vielen Autoren mit dem Sharp-Zeichen # geschrieben wird. Seine Polarzerlegung ${\displaystyle \textstyle S=J\Delta }$ führt zu den Formeln, die im Artikel zur Tomita-Takesaki-Theorie beschrieben sind.

Eine beliebige Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle U}$ hat ein treues, normales, semiendliches Gewicht ${\displaystyle \omega }$. Dann ist ${\displaystyle A:=\{a\in U|\,\omega (a^{*}a)<\infty ,\omega (aa^{*})<\infty \}}$ eine verallgemeinerte Hilbertalgebra,^[7] deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu ${\displaystyle U}$ isomorph ist.

1. ↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel I.5.1: Definition of Hilbert algebras.
2. ↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel I, §5, Absatz 5, Definition 7.
3. ↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 5: Normal traces on L(H).
4. ↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 2, Theorem 1 und Theorem 2.
5. ↑ M. Takesaki: Tomita's theory of modular Hilbert-algebras and its applications. Lecture Notes in Mathematics, Band 128, Springer-Verlag 1970, §2.
6. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II. Academic Press, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Definition 9.2.41.
7. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-12-393302-1, Satz 9.2.40.