Uhlenbeck begann ihre wissenschaftliche Karriere mit Forschungen zur Variationsrechnung bei ihrem Doktorvater Richard Palais und wurde später vor allem durch Arbeiten über nichtlineare partielle Differentialgleichungen in verschiedenen geometrischen und physikalischen Problemen bekannt.
Einige ihrer wichtigsten Arbeiten betrafen harmonische Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten, das heißt solche, die die Dirichlet-Energie minimieren, was also ein Variationsproblem darstellt. Anschaulich lässt sich folgendes Analogon formulieren: Man suche eine Abbildung einer Fläche M auf eine Fläche N, zum Beispiel sei M eine Gummihaut und N ein Stein und die Abbildung bestehe darin, die Gummihaut dem Stein überzustülpen. Dann würde die Dirichlet-Energie der elastischen Energie in der Gummihaut entsprechen, die beim Überstülpen erzeugt wird. Bei topologisch komplizierteren Mannigfaltigkeiten (gemessen zum Beispiel über die Anzahl der Löcher, dem topologischen Geschlecht) ist die gesuchte Lösung oft nicht eindeutig und der Nachweis der Konvergenz bei Näherungen an harmonische Abbildungen schwierig. Palais und Stephen Smale hatten 1964[5] die Idee, allgemeinere Energiemaße als die Dirichlet-Energie zu verwenden, die die sogenannte Palais-Smale-Bedingung erfüllen. Das funktionierte aber zunächst nur im eindimensionalen Fall, in höherdimensionalen Fällen erfüllte die Dirichlet-Energie häufig nicht die Bedingung. Das wurde von Karen Uhlenbeck Mitte der 1970er Jahre näher untersucht und sie testete mit ihrem Post-Doktoranden Jonathan Sacks[6] verschiedene Energiefunktionale auf zweidimensionalen Flächen, die alle die Palais-Smale-Bedingung erfüllen (was sicherstellte, dass die Abbildung eine Energie minimalisierte) und gegen die Dirichlet-Energie konvergieren. Die Frage war, ob bei Annäherung der Energiemaße an die Dirichlet-Energie die Abbildungen ebenfalls harmonisch wurden. Sie fanden, dass dies für fast alle Punkte der Fläche der Fall war bis auf eine endliche Anzahl mit einer Blasensingularität (bubble singularity). Diese können nur an topologischen Löchern der als kompakt angenommenen Zielmannigfaltigkeit entstehen, und die Frage der Existenz einer harmonischen Abbildung erlaubte somit Aussagen über die Topologie der Zielmannigfaltigkeit. Die Arbeit von Sacks und Uhlenbeck gilt als eine der grundlegenden Arbeiten zum teilweise damit begründeten Gebiet der geometrischen Analysis. Ähnliche Phänomene mit Blasensingularitäten von Abbildungen fanden sich später in vielen anderen Zusammenhängen.
Bei den in der Physik wichtigen Yang-Mills-Gleichungen (hier hat man es ebenfalls mit Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten zu tun, und die Lösungen der Yang-Mills-Gleichung minimalisieren ein Funktional ähnlich wie die Dirichlet-Energie bei harmonischen Abbildungen) in vier Dimensionen bewies sie 1982 einen Satz über die Entfernbarkeit von Singularitäten (removable singularities theorem). Sie zeigte, dass um isolierte Punkte keine Blasensingularitäten vorhanden sein können. Lösungen der Yang-Mills-Gleichung mit endlicher Energie, die sich in der Umgebung eines Punktes nichtsingulär verhalten, sind auch in dem Punkt nichtsingulär. Uhlenbeck bewies die Existenz von Coulomb-Eichungen in Yang-Mills-Gleichungen und leitete aus der Tatsache, dass diese in einer Eichung elliptisch werden, analytische Eigenschaften ihrer Lösungen ab. Speziell ihre Abschätzungen über (selbstduale) Instanton-Lösungen von Yang-Mills-Gleichungen waren wichtige analytische Vorarbeiten für Simon Donaldsons Klassifikation differenzierbarer Strukturen auf vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten, für die er die Fields-Medaille erhielt. Uhlenbeck forscht ebenfalls zu nichtlinearen Wellengleichungen und integrablen Systemen mit unendlich vielen Erhaltungsgrößen (Solitonen).
Karen Uhlenbeck wurde durch ihre wissenschaftlichen Erfolge seit Anfang der 1980er Jahre zu einer Leitfigur für Frauen in der Mathematik.[7] Sie war seit 1932 die erste Frau, die 1990 einen Plenarvortrag auf einem Internationalen Mathematikerkongress hielt. 1994 gründete sie mit Chuu-Lian Terng am Institute for Advanced Study ein Mentorprogramm für Frauen in der Mathematik (Women and Mathematics, WAM).[8]
1983 war sie Invited Speaker auf dem Internationalen Mathematikerkongress (ICM) in Warschau (Variational problems for gauge fields) und 1990 hielt sie auf dem ICM in Kyoto einen der Plenarvorträge (Applications of nonlinear analysis in topology).
2023 wurde sie zum auswärtigen Mitglied der Royal Society gewählt.
Privatleben
Sie war bis 1976 mit dem Biophysiker Olke Cornelis Uhlenbeck (* 1942) verheiratet, dem Sohn von George Uhlenbeck. Später heiratete sie den Mathematiker Robert F. Williams.
Schriften
Mit J. Sacks: The existence of minimal immersions of 2-spheres. In: Annals of Mathematics. Band 113, 1981, S. 1–24.
Morse theory by perturbation methods with applications to harmonic maps. In: Trans. Amer. Math. Soc. Band 267, 1981, S. 569–583, Online.
Mit J. Sacks: Minimal immersions of closed Riemann surfaces. In: Trans. AMS. Band 271, 1982, S. 639–652.
Removable Singularities in Yang Mills Fields. In: Communications in Mathematical Physics. Band 83, 1982, Nr. 1, ISSN0010-3616, S. 11–29, Project Euclid.
Connections with bounds on curvature. In: Communications in Mathematical Physics. Band 83, 1982, Nr. 1, ISSN0010-3616, S. 31–42, Project Euclid.
Mit R. Schoen: A regularity theory for harmonic maps. In: J. Diff. Geom. Band 17, 1982, S. 307–335, Project Euclid.
Mit D. S. Freed: Instantons and Four-Manifolds. In: Mathematical Sciences Research Institute publications 1. Springer-Verlag, New York u. a. 1984, ISBN 0-387-96036-8.
↑Jim Al-Khalili: A biography of Karen Uhlenbeck. (PDF; 380 kB) In: abelprize.no. Archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 25. Februar 2020; abgerufen am 19. März 2019 (englisch).
