Das Nerv-Theorem ist ein Lehrsatz der Topologie. Er gibt ein „kombinatorisches Modell“ des Homotopietyps topologischer Räume durch guten Überdeckungen zugeordnete Simplizialkomplexe.

Aus dem Nerv-Theorem folgt unmittelbar der Isomorphismus zwischen Čech-Homologie und singulärer Homologie von Mannigfaltigkeiten.

Zu einer Überdeckung ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ durch offene Mengen ${\displaystyle U_{i}}$ definiert man ihren Nerv ${\displaystyle N({\mathcal {U}})}$ als den Simplizialkomplex, dessen Ecken ${\displaystyle e_{i}(i\in I)}$ den offenen Mengen der Überdeckung entsprechen und in dem die Ecken ${\displaystyle e_{i_{0}},\ldots ,e_{i_{k}}}$ genau dann einen ${\displaystyle k}$-Simplex aufspannen, wenn der Durchschnitt der entsprechenden offenen Mengen nichtleer ist: ${\displaystyle U_{i_{0}}\cap \ldots \cap U_{i_{k}}\not =\emptyset }$.

Beispiel: Wenn ${\displaystyle \vert X\vert }$ die geometrische Realisierung eines Simplizialkomplexes ${\displaystyle X}$ mit Ecken ${\displaystyle e_{i}(i\in I)}$ und ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ die Überdeckung von ${\displaystyle \vert X\vert }$ durch die offenen Sterne ${\displaystyle U_{i}}$ der Ecken ${\displaystyle e_{i}}$ ist, dann ist ${\displaystyle N({\mathcal {U}})\cong X}$.

Für gute Überdeckungen ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ parakompakter Räume ${\displaystyle X}$ ist die geometrische Realisierung von ${\displaystyle N({\mathcal {U}})}$ homotopie-äquivalent zu ${\displaystyle X}$.

• Kapitel 4G in Allen Hatcher: Algebraic topology (online)
• Karol Borsuk: On the imbedding of systems of compacta in simplicial complexes, Fund. Math. 35, (1948) 217–234
• Jean Leray: L’anneau spectral et l’anneau filtré d’homologie d’un espace localement compact et d’une application continue, J. Math. Pures Appl. (9) 29 (1950), 1–139
• André Weil: Sur les théorèmes de de Rham, Comment. Math. Helv. 26 (1952), 119–145