In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra normal, wenn es mit seinem Adjungierten kommutiert.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine *-Algebra, so heißt ein Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ normal, falls es mit ${\displaystyle a^{*}}$ kommutiert, also die Gleichung ${\displaystyle aa^{*}=a^{*}a}$ erfüllt.

Die Menge der normalen Elemente wird mit ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{N}}$ oder ${\displaystyle N({\mathcal {A}})}$ bezeichnet.

Besonders interessant ist der Fall, bei dem ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft (${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

• Jedes selbstadjungierte Element einer *-Algebra ist normal.
• Jedes unitäre Element einer *-Algebra ist normal.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine C*-Algebra und ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ein normales Element, so erhält man aus dem stetigen Funktionalkalkül für stetige Funktionen ${\displaystyle f}$ auf dem Spektrum weitere normale Elemente ${\displaystyle f(a)}$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine *-Algebra. Dann gilt:

• Ein Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ist genau dann normal, wenn die von ${\displaystyle a}$ erzeugte *-Unteralgebra, d. h. die kleinste *-Unteralgebra, die ${\displaystyle a}$ enthält, kommutativ ist.
• Jedes Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ lässt sich eindeutig in Real- und Imaginärteil zerlegen, das heißt es existieren selbstadjungierte Elemente ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$, sodass ${\displaystyle a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}}$, wobei ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die imaginäre Einheit bezeichnet. Genau dann ist ${\displaystyle a}$ normal, wenn ${\displaystyle a_{1}a_{2}=a_{2}a_{1}}$ gilt, das heißt, wenn Real- und Imaginärteil kommutieren.

Sei ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ein normales Element einer *-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Dann gilt:

• Das adjungierte Element ${\displaystyle a^{*}}$ ist ebenfalls normal, da ${\displaystyle a=(a^{*})^{*}}$ für die Involution * gilt.

Sei ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ein normales Element einer C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Dann gilt:

• Es ist ${\displaystyle \left\|a^{2}\right\|=\left\|a\right\|^{2}}$, da für normale Elemente mit der C*-Eigenschaft ${\displaystyle \left\|a^{2}\right\|^{2}=\left\|(a^{2})(a^{2})^{*}\right\|=\left\|(a^{*}a)^{*}(a^{*}a)\right\|=\left\|a^{*}a\right\|^{2}=\left(\left\|a\right\|^{2}\right)^{2}}$ gilt.
• Jedes normale Element ist ein normaloides Element, das heißt, der Spektralradius ${\displaystyle r(a)}$ ist gerade die Norm von ${\displaystyle a}$, also ${\displaystyle r(a)=\left\|a\right\|}$.^[1] Dies folgt aus der Spektralradiusformel durch wiederholtes Anwenden der vorherigen Eigenschaft.
• Es lässt sich ein stetiger Funktionalkalkül entwickeln, der es – vereinfacht gesagt – ermöglicht, ${\displaystyle a}$ in stetige Funktionen auf dem Spektrum von ${\displaystyle a}$ einzusetzen.

• Normale Matrix
• Normaler Operator

• Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 8. Auflage. Springer, 2018, ISBN 978-3-662-55407-4.

1. ↑ Harro Heuser: Functional analysis. Aus dem Deutschen von John Horvath. John Wiley & Sons Ltd., 1982, ISBN 0-471-10069-2, S. 390.