In der Mathematik spielen transnormale Funktionen insbesondere im Zusammenhang mit isoparametrischen Flächen (mit nur der Richtung nach verschiedenen Parametern) eine Rolle.

Es sei ${\displaystyle M}$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ heißt transnormal, wenn es eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ${\displaystyle b\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle |\nabla f(x)|^{2}=b(f(x))}$

für alle ${\displaystyle x\in M}$ gibt. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \nabla f}$ den Gradienten von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle |\cdot |}$ die mittels der Riemannschen Metrik definierte Norm.

• Die Niveaumengen einer transnormalen Funktion sind Parallelflächen, d. h. sie haben konstanten Abstand.

• Wenn ${\displaystyle f}$ nach unten oder oben beschränkt ist, dann sind die Niveaumengen des globalen Minimums bzw. Maximums Untermannigfaltigkeiten. (Sie werden als Fokalmannigfaltigkeiten ${\displaystyle V_{-}}$ bzw. ${\displaystyle V_{+}}$ bezeichnet.)

• Die Niveaumengen regulärer Werte sind Sphärenbündel über den Fokalmannigfaltigkeiten.

• Transnormale Funktionen auf ${\displaystyle S^{n}}$ oder ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sind isoparametrisch.

• Sei ${\displaystyle M=S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ die Standard-Sphäre und ${\displaystyle f}$ die Einschränkung des homogenen Polynoms ${\displaystyle x_{1}^{2}+\ldots +x_{r}^{2}-x_{r+1}^{2}-\ldots -x_{n+1}^{2}}$ auf ${\displaystyle S^{n}}$. (${\displaystyle 1<r<n+1}$) Dann ist ${\displaystyle f^{2}}$ eine transnormale Funktion. Die Fokalmannigfaltigkeit ${\displaystyle V_{+}}$ ist in diesem Fall die Vereinigung zweier Sphären der Dimensionen ${\displaystyle r-1}$ und ${\displaystyle n-r-1}$.
• Sei ebenfalls ${\displaystyle M=S^{n}}$ die Standard-Sphäre und für einen Punkt ${\displaystyle p\in S^{n}}$ sei ${\displaystyle \theta (p)}$ der Abstand zwischen ${\displaystyle p}$ und dem Nordpol (auf der Sphäre, mit anderen Worten: der Winkel im Nullpunkt zwischen ${\displaystyle p}$ und dem Nordpol). Dann definiert ${\displaystyle f(p)=\cos \theta (p)}$ eine transnormale Funktion ${\displaystyle f\colon S^{n}\to \left[-1,1\right]}$, deren Fokalmannigfaltigkeiten der Nordpol und der Südpol sind.
• Sei ${\displaystyle T^{2}=\left\{(x,y,z)=((R+r\cos \theta )\cos \phi ,(R+r\cos \theta )\sin \phi ,r\sin \theta )\right\}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ein Rotationstorus, (${\displaystyle 0<r<R}$). Dann ist ${\displaystyle f(x,y,z)=z}$ eine nach oben und unten unbeschränkte transnormale Funktion.

• Qi Ming Wang: Isoparametric functions on Riemannian manifolds. I. Math. Ann. 277 (1987), no. 4, 639–646.
• Reiko Miyaoka: Transnormal functions on a Riemannian manifold. Differential Geom. Appl. 31 (2013), no. 1, 130–139.