Espacio F

En análisis funcional, un espacio F (también escrito en ocasiones F-espacio) es un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ sobre los números reales o complejos junto con una métrica ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ tal que:

1. La multiplicación escalar en ${\displaystyle X}$ es continua con respecto a ${\displaystyle d}$ y la métrica estándar en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
2. La suma en ${\displaystyle X}$ es continua con respecto a ${\displaystyle d.}$
3. La métrica es invariante a la traslación; es decir, ${\displaystyle d(x+a,y+a)=d(x,y)}$ para todos los ${\displaystyle x,y,a\in X.}$
4. El espacio métrico ${\displaystyle (X,d)}$ es completo.

La operación ${\displaystyle x\mapsto \|x\|:=d(0,x)}$ se denomina norma F, aunque en general no es necesario que una norma F sea homogénea. Con invariancia a la traslación, la métrica se puede recuperar de la norma F. Por lo tanto, un espacio F real o complejo es equivalente a un espacio vectorial real o complejo equipado con una norma F completa.

Algunos autores utilizan el término espacio de Fréchet en lugar de espacio F, pero normalmente el término "espacio de Fréchet" está reservado para los espacios F localmente convexos. Algunos otros autores utilizan el término "espacio F" como sinónimo de "espacio de Fréchet", con lo que se refieren a un espacio vectorial topológico metrizable completo localmente convexo. La métrica puede ser o no ser necesariamente parte de la estructura en un espacio F. Muchos autores solo requieren que dicho espacio sea metrizable, de manera que satisfaga las propiedades anteriores.

Todos los espacios de Banach y los espacios de Fréchet son espacios F. En particular, un espacio de Banach es un espacio F con un requisito adicional de que ${\displaystyle d(ax,0)=|a|d(x,0).}$^[1]​

Los espacios L^p se puede convertir en espacios F para todos los ${\displaystyle p\geq 0}$ y para ${\displaystyle p\geq 1}$ se pueden convertir en espacios localmente convexos y, por lo tanto, en espacios de Fréchet e incluso en espacios de Banach.

${\displaystyle L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]}$ es un espacio F. No admite seminormas continuas ni funcionales lineales continuos; tiene espacio dual trivial.

Sea ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ el espacio de todas las serie de Taylor con valores complejos

${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$

en el disco unitario ${\displaystyle \mathbb {D} }$, de modo que

${\displaystyle \sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}<\infty }$

entonces, para ${\displaystyle 0<p<1,}$, ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} )}$ son espacios F bajo espacios Lp:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\sum _{n}\left|a_{n}\right|^{p}\qquad (0<p<1).}$

De hecho, ${\displaystyle W_{p}}$ es un álgebra casi de Banach. Además, para cualquier ${\displaystyle \zeta }$ con ${\displaystyle |\zeta |\leq 1}$, la aplicación ${\displaystyle f\mapsto f(\zeta )}$ es lineal acotada (funcional multiplicativo) en ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {D} ).}$

El teorema de la función abierta implica que si ${\displaystyle \tau {\text{and }}\tau _{2}}$ son topologías en ${\displaystyle X}$ que convierten a ${\displaystyle (X,\tau )}$ y ${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ en espacios vectoriales topológicos metrizables completos (por ejemplo, de Banach o de Fréchet) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{then }}\tau =\tau _{2}}$).^[4]​

• Una aplicación lineal casi continua en un espacio F cuyo gráfico es cerrado es continua.^[5]​
• Una aplicación lineal casi abierta en un espacio F cuyo gráfico es cerrado es necesariamente una aplicación abierta.^[5]​
• Una aplicación lineal casi abierta continua de un espacio F es necesariamente una aplicación abierta.^[6]​
• Una aplicación lineal continua casi abierta de un espacio F cuya imagen es exigua en el codominio es necesariamente una aplicación abierta sobreyectiva.^[5]​

• Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665. 
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370. 
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• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics 8 (Second edición). New York, NY: McGraw Hill Education. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
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