Blomqvist aloitti kilpauransa karting-sarjoissa, jossa hän kilpaili vuosina 2003–2008 voittaen useita mestaruuksia Uudessa-Seelannissa. Vuonna 2009 hän siirtyi kilpailemaan Ruotsin Formula Renault 2.0-sarjaan, ottaen viisi palkintokorokesijoitusta ja yhden voiton 14 ajetusta kilpailusta sijoittuen sarjan loppupisteissä kolmanneksi. Hän sijoittui samana vuonna Formula Renault NEZ Championship-sarjassa niin ikään kolmanneksi.[3]
Vuonna 2010 Blomqvist voitti Britannian Formula Renault -sarjan mestaruuden 16-vuotiaana ollen kaikkien aikojen nuorin sarjan mestaruuden voittanut kuljettaja.[2] Vuonna 2010 hän sai Autosport British Club Driver of the Year ja British Racing Drivers’ Clubin Henry Surtees -palkinnon suorituksistaan ja ajotaidoistaan.[2]
Vuonna 2011 Blomqvist kilpaili Saksan Formula 3 -sarjassa. Hän loukkaantui EuroSpeedway Lausitzin radalla ajetussa kilpailussa ja joutui jättämään neljä viimeistä kilpailua väliin.[2] Hän sijoittui kuitenkin loppupisteissä kuudenneksi saavuttaen yhden voiton. Vuonna 2012 Blomqvist ajoi Formula 3 Euroseries -sarjassa sijoittuen loppupisteissä seitsemänneksi. Vuonna 2013 Blomqvist ajoi uudelleen perustetussa Euroopan Formula 3 mestaruussarjassa. Hän saavutti kauden aikana kolme kolmossijaa sijoittuen sarjan seitsemänneksi. Vuonna 2014 Blomqvist jatkoi samassa sarjassa. Hän saavutti kuusi voittoa, kuusi paalupaikkaa ja yhdeksän nopeinta kierrosta sijoittuen loppupisteissä sarjan toiseksi.[3]
Vuonna 2015 Blomqvist kilpaili DTM-vakioautojensarjassa BMW:n autolla. Hän otti ensimmäisen osakilpailuvoittonsa jo tulokaskaudellaan voitettuaan Oscherslebenissa sunnuntain kilpailun.[4]
