Les approximations aux petits angles peuvent être utilisées pour approximer les valeurs des principales fonctions trigonométriques, à condition que l'angle en question soit petit et qu'il se mesure en radians :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}}$

Ces approximations ont un large panel d'utilisations dans les domaines de la physique et de l'ingénierie, notamment la mécanique, l'électromagnétisme, l'optique, la cartographie, l'astronomie et l'informatique^[1],[2]. L’une des raisons à cela est qu’elles peuvent grandement simplifier les équations différentielles pour lesquelles une très grande précision n'est pas nécessaire.

Il existe plusieurs manières de démontrer l'approximations aux petits angles. La méthode la plus directe consiste à tronquer la série de Taylor pour chacune des fonctions trigonométriques. D'après l' ordre de l'approximation, ${\displaystyle \textstyle \cos \theta }$ est approximé comme ${\displaystyle 1}$ ou comme ${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$^[3].

Les figures 1 et 2 ci dessous montrent la précision des approximations. À mesure que la mesure de l'angle se rapproche de zéro, la différence entre l'approximation et la fonction d'origine se rapproche également de 0.

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  Figure 1.Une comparaison des fonctions trigonométriques impaires de base avec θ. On voit que plus l'angle s'approche de 0, plus les approximations s'améliorent.
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  Figure 2.Une comparaison de cos θ à 1 − θ²/2

La section rouge à droite, d, est la différence entre les longueurs de l'hypoténuse, H, et le côté adjacent, A . Comme indiqué, H et A ont presque la même longueur, ce qui signifie que cos θ est proche de 1 et θ²/2 augmente la précision en réduisant la section rouge.$${\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$$La longueur du côté opposé, O, est approximativement égal à la longueur de l'arc bleu, s . D'après la géométrie, s = Aθ, et la trigonométrie, sin θ = O/H et tan θ = O/A et de la photo, 0 ${\displaystyle O\approx s}$ et ${\displaystyle H\approx A}$ mène à:$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$$Après simplification,$${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}$$

En utilisant le Théorème des gendarmes^[4], nous pouvons prouver que$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1,}$$qui est une reformulation formelle de l'approximation ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$ pour de petites valeurs de θ.

Comme ${\displaystyle \sin \theta =\tan \theta \cos \theta }$ on en déduit que$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}=1,}$$d'où nous concluons que ${\displaystyle \tan \theta \approx \theta }$ pour de petites valeurs de ${\displaystyle \theta }$.

Enfin, en utilisant la formule de l'angle double ${\displaystyle \cos 2A=1-2\sin ^{2}A}$, on obtient$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos \theta }{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {2\sin ^{2}(\theta /2)}{4(\theta /2)^{2}}}={\frac {1}{2}},}$$qui se réorganise en ${\textstyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ pour de petites valeurs de ${\displaystyle \theta }$.

Le développement de Maclaurin (le développement de Taylor autour de 0) de la fonction sinus est^[5]$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}$$où θ est l'angle en radians. De manière plus claire,$${\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots }$$Le deuxième terme le plus significatif (de troisième ordre) se décompose en cube du premier terme; ainsi, même pour un angle tel que 0,01, la valeur du deuxième terme le plus significatif est de l'ordre de 0,000 001, ou1/10 000 du premier terme. On peut ainsi approximer sans problème :$${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$$Alors, puisque le cosinus d'un petit angle est très proche de 1, et que la tangente est donnée par le sinus divisé par le cosinus,$${\displaystyle \tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta ,}$$

La figure 3 montre les erreurs relatives des approximations aux petits angles. Les angles pour lesquels l'erreur relative dépasse 1 % sont les suivants :

• cos θ ≈ 1 à environ 0.1408 radians (8.07°)
• tan θ ≈ θ à environ 0.1730 radians (9.91°)
• sin θ ≈ θ à environ 0.2441 radians (13.99°)
• cos θ ≈ 1 − θ²/2 à environ 0.6620 radians (37.93°)

Lorsque l'un des angles est petit (ici ${\displaystyle \beta \approx 0}$), les théorèmes d'addition et de soustraction d'angle se réduisent à:

• Triangle maigre
• Petites oscillations d'un pendule
• approximation paraxiale
• Versine et haversine
• Exsécant et excosecant

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