Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.
Un espace vectoriel normé ( X , ‖ ‖ --> . ‖ ‖ --> ) {\displaystyle (X,\Vert .\Vert )} est dit lisse si, pour tout u ∈ ∈ --> X ∖ ∖ --> { 0 } {\displaystyle u\in X\setminus \{0\}} et tout v ∈ ∈ --> X {\displaystyle v\in X} , la fonction réelle d'une variable réelle
t ↦ ↦ --> ‖ ‖ --> u + t v ‖ ‖ --> {\displaystyle t\mapsto \Vert u+tv\Vert }
est dérivable en 0.
Soit ( H , ‖ ‖ --> . ‖ ‖ --> ) {\displaystyle (H,\Vert .\Vert )} un espace préhilbertien (réel, par exemple) avec ‖ ‖ --> . ‖ ‖ --> = ( . | . ) {\displaystyle \Vert .\Vert ={\sqrt {(.|.)}}} .
Pour tout u ∈ ∈ --> H ∖ ∖ --> { 0 } {\displaystyle u\in H\setminus \{0\}} , tout v ∈ ∈ --> H {\displaystyle v\in H} et tout ε ε --> > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} on a
‖ ‖ --> u + ε ε --> v ‖ ‖ --> − − --> ‖ ‖ --> u ‖ ‖ --> ε ε --> = ‖ ‖ --> u + ε ε --> v ‖ ‖ --> 2 − − --> ‖ ‖ --> u ‖ ‖ --> 2 ε ε --> ( ‖ ‖ --> u + ε ε --> v ‖ ‖ --> + ‖ ‖ --> u ‖ ‖ --> ) = ε ε --> 2 ‖ ‖ --> v ‖ ‖ --> 2 + 2 ε ε --> ( u | v ) ε ε --> ( ‖ ‖ --> u + ε ε --> v ‖ ‖ --> + ‖ ‖ --> u ‖ ‖ --> ) = ε ε --> ‖ ‖ --> v ‖ ‖ --> 2 + 2 ( u | v ) ‖ ‖ --> u + ε ε --> v ‖ ‖ --> + ‖ ‖ --> u ‖ ‖ --> {\displaystyle {\frac {\Vert u+\varepsilon v\Vert -\Vert u\Vert }{\varepsilon }}={\frac {\Vert u+\varepsilon v\Vert ^{2}-\Vert u\Vert ^{2}}{\varepsilon (\Vert u+\varepsilon v\Vert +\Vert u\Vert )}}={\frac {\varepsilon ^{2}\Vert v\Vert ^{2}+2\varepsilon (u|v)}{\varepsilon (\Vert u+\varepsilon v\Vert +\Vert u\Vert )}}={\frac {\varepsilon \Vert v\Vert ^{2}+2(u|v)}{\Vert u+\varepsilon v\Vert +\Vert u\Vert }}}
où l'on a utilisé les propriétés de bases d'un produit scalaire.
On a alors
lim ε ε --> → → --> 0 ‖ ‖ --> u + ε ε --> v ‖ ‖ --> − − --> ‖ ‖ --> u ‖ ‖ --> ε ε --> = ( u | v ) ‖ ‖ --> u ‖ ‖ --> ∈ ∈ --> R {\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\Vert u+\varepsilon v\Vert -\Vert u\Vert }{\varepsilon }}={\frac {(u|v)}{\Vert u\Vert }}\in \mathbb {R} }
Dérivée de Gateaux
un espace préhilbertien (réel, par exemple) avec 
.
, tout 
et tout 
on a
