En analyse mathématique, l'équivalence relie deux fonctions ou deux suites qui ont le même comportement au voisinage d'un point ou de l'infini.

Par exemple, avec ${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}+3x}$, alors quand ${\displaystyle x}$ tend vers l'infini, le terme ${\displaystyle 3x}$ devient insignifiant devant le terme ${\displaystyle x^{2}}$ ; on écrit alors ${\displaystyle f(x){\underset {x\rightarrow +\infty }{\sim }}x^{2}}$, et on dit que ${\displaystyle f}$ est équivalente à ${\displaystyle x^{2}}$ en ${\displaystyle +\infty }$.

Cette notion intervient dans le calcul des développements asymptotiques, dont les développements limités sont des cas particuliers. Elle est très utile dans la détermination de limites.

Soient ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ deux fonctions définies sur une partie ${\displaystyle I}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$, et soit ${\displaystyle a}$ un point adhérent à ${\displaystyle I}$ (${\displaystyle a}$ peut être un réel, ${\displaystyle +\infty }$ ou ${\displaystyle -\infty }$).

On dit que ${\displaystyle f}$ est équivalente à ${\displaystyle g}$ au voisinage de ${\displaystyle a}$ s'il existe une fonction ${\displaystyle \alpha }$ et un voisinage ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle a}$ tels que^{[N 1]} :

${\displaystyle \lim _{x\to a}\alpha (x)=1}$, et ${\displaystyle f=\alpha g}$ sur ${\displaystyle V\cap I}$

Une autre caractérisation plus commode dans le cas où ${\displaystyle g}$ ne s'annule pas au voisinage de ${\displaystyle a}$ est :

${\displaystyle f}$ est équivalente à ${\displaystyle g}$ au voisinage de ${\displaystyle a}$ si :

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}\ \ {f(x) \over g(x)}=1}$

• Un équivalent de la somme partielle ${\displaystyle H_{n}}$ d'ordre ${\displaystyle n}$ de la série harmonique est ${\displaystyle \ln n}$ :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{1 \over k}\sim \ln n}$

• Un équivalent de la factorielle de ${\displaystyle n}$ est donné par la formule de Stirling : ${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({n \over {\mathrm {e} }}\right)^{n}}$

• Pour ${\displaystyle \pi _{n}}$ la suite dont le ${\displaystyle n}$-ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à ${\displaystyle n}$, le théorème des nombres premiers établit que :

${\displaystyle \pi _{n}\sim {\frac {n}{\ln n}}}$

• Pour ${\displaystyle P_{n}}$ le nombre de façon de décomposer ${\displaystyle n}$ en une somme d'entiers naturels non nul sans considérer l'ordre des termes, alors :

${\displaystyle P_{n}\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$

• Une suite est équivalente à la suite nulle si et seulement si elle est nulle à partir d'un certain rang^{[4],[N 2]}.

• Dans le cas où la suite ${\displaystyle v_{n}}$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, alors :

${\displaystyle u_{n}\sim v_{n}\Leftrightarrow \lim _{n\to +\infty }{\frac {u_{n}}{v_{n}}}=1.}$

Cette propriété est la plus simple à mettre en place pour montrer l'équivalence.

• Si deux suites convergentes sont équivalentes, alors elles ont la même limite. Réciproquement, si deux suites ont la même limite finie et non nulles, alors elles sont équivalentes^{[N 3]} ;
• La relation ${\displaystyle \sim }$ est une relation d'équivalence sur les suites réelles ou complexes ;
• Une suite possède toujours un équivalent : par exemple elle-même, et cet équivalent n'est pas unique : il en existe une infinité.

Soient ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ deux fonctions définies sur une partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$, et soit ${\displaystyle a}$ un point adhérent à ${\displaystyle A}$ (${\displaystyle a}$ peut être un réel, ${\displaystyle +\infty }$ ou ${\displaystyle -\infty }$).

On dit que ${\displaystyle f}$ est équivalente à ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle a}$, et on note ${\displaystyle f\;{\underset {a}{\sim }}\;g}$ ^{[N 4]} s'il existe une fonction ${\displaystyle \varepsilon }$ définie sur un voisinage ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle a}$ telle que :

• ${\displaystyle \lim _{a}\varepsilon =0}$ ;
• ${\displaystyle \forall x\in (V\cap A),~f(x)=(1+\varepsilon (x))g(x).}$

• Un équivalent en ${\displaystyle \pm \infty }$ d'une fonction polynomiale est son monôme de plus haut degré ;
• ${\displaystyle \sin x{\underset {x\to 0}{\sim }}\tan x{\underset {x\to 0}{\sim }}\ x}$
• ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}{\underset {x\to 0}{\sim }}\ 1+{\frac {x}{2}}{\underset {x\to 0}{\sim }}\ 1}$

• Si ${\displaystyle g}$ est non nulle au voisinage de ${\displaystyle a}$, alors : ${\displaystyle f\;{\underset {a}{\sim }}\;g\Leftrightarrow \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$

Cette propriété est la plus simple à mettre en place pour montrer l'équivalence.

• Si ${\displaystyle \ell }$ est une constante non nulle : ${\displaystyle f\;{\underset {a}{\sim }}\;\ell \Leftrightarrow \lim _{a}f=\ell }$
• Si ${\displaystyle f\;{\underset {a}{\sim }}\;0}$, alors ${\displaystyle f}$ est nulle sur un voisinage de ${\displaystyle a}$ ;
• La relation ${\displaystyle \sim }$ est une relation d'équivalence sur les fonctions réelles ou complexes ;
• Si ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ sont équivalentes en ${\displaystyle a}$ alors :
  • Elles sont de même signe « localement autour de ${\displaystyle a}$», c'est-à-dire sur un voisinage de ${\displaystyle a}$ ;
  • Elles admettent la même limite en ${\displaystyle a}$ ou bien elles n'admettent pas de limite.
• Les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation ${\displaystyle \sim }$ . Cependant, l'addition et la composition d'équivalents sont généralement fausses (voir opérations sur les équivalents).

• On peut généraliser cette définition en considérant des fonctions :
  • définies sur une partie ${\displaystyle A}$ d'un espace topologique autre que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ;
  • à valeurs dans un espace vectoriel normé sur ${\displaystyle K}$, ou même dans un espace vectoriel topologique sur ${\displaystyle K}$ avec ${\displaystyle K}$ un corps valué autre que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• La notion d'équivalence de suites est un cas particulier de celle d'équivalence de fonctions.

Comparaison asymptotique

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