Dimensión

A dimensión ten un significado matemático moi amplo, e polo tanto consta dunha pluralidade de definicións, dependendo do sentido adecuado en cada caso.

Un espazo vectorial sobre un corpo K dise que ten dimensión n se existe unha base de cardinal n. Nun espazo vectorial, todas as bases teñen o mesmo cardinal, o que fai da dimensión o primeiro invariante da álxebra lineal. O espazo vectorial trivial {0} ten como dimensión 0 porque o conxunto baleiro é a súa base: unha combinación de cero vector dá o vector nulo.

Intuitivamente falando, a dimensión dun espazo vectorial dinos cantos elementos necesitamos para poder expresar calquera elemento do espazo en termos das combinacións lineais dos primeiros, i.e., cantos elementos do espazo necesitamos para poder expresar todos os elementos do espazo como sumas de múltiplos destes elementos.

A dimensión topolóxica é a que nos resulta máis intuitiva e pragmática para comprender. Esta establece a dimensión dun punto = 0, a dunha curva = 1, a dunha superficie = 2 etc...

Máis formalmente escrito, un obxecto ten dimensión topolóxica m cando calquera recubrimento dese obxecto, ten como mínimo unha dimensión topolóxica = m 1 (establecendo de xeito previo que o punto ten dimensión topolóxica = 0).

Aínda máis formalmente: a definición para conxuntos con dimensión topolóxica 0 queda como segue: dise que un conxunto F ten dimensión topolóxica 0, DT(F)=0 se e só se para todo x pertencente a F e calquera conxunto aberto O (para a topoloxía relativa de F) que conteña a x, existe un aberto V tal que x pertence a V que está incluído en O e a fronteira de V coa intersección a F é baleira.

Esta dimensión é comunmente confundible coa entropía de Kolmógorov ou a dimensión de Minkowski Bouligand. A dimensión de Hausdorff-Besicovitch obtense como un punto de punto de inflexión do valor da potencia elixida na lonxitude de Hausdorff cando esta pasa de ser infinita a ser nula. A lonxitude de Hausdorff é a suma do diámetro topolóxico elevado a unha potencia "s" dun recubrimento enteiro do obxecto a partir de contornas ou cubrimentos de diámetro delta ou menor a este do propio obxecto.

É unha dimensión obtida para facilidade de cálculos como o cociente logarítmico entre o número de homotecias internas atopadas nun obxecto por transformación, e a inversa da razón desa homotecia. É tamén chamada Box Counting Dimension e ten unha definición máis intuitiva pero máis larga respecto diso.

É deste xeito que os obxectos euclidianos diferenciables vense cunha correspondencia no seu valor dimensional topolóxica, de Box Counting e de H.B.

Isto non resulta cos fractais, que son definidos por Benoît Mandelbrot como:

obxectos tales que a súa dimensión de Hausdorff - Besicovitch excede estritamente a súa dimensión topolóxica.

Finalmente sabemos que existen casos de fractais que non se apegan a esta definición; unha desas é a curva do Diaño, a cal é un fractal derivado do conxunto de Cantor.

• Cuarta dimensión