Fractal

No uso coloquial, un fractal (do latín fractus 'fracción', 'quebrado') é un obxecto xeométrico que ao ser dividido en partes, cada unha das partes resulta ter un padrón semellante ao obxecto orixinal. Dise que os fractais teñen infinitos detalles, son xeralmente autosimilares e independentes da escala. En moitos casos, un fractal pode xerarse en base á repetición dun padrón, tipicamente un proceso recorrente ou iterativo.

Benoît Mandelbrot, matemático francés nado na Polonia, que descubriu a xeometría fractal na década de 1970 acuñou o termo a partir do adxectivo latino fractus, do verbo frangere, que significa 'quebrar'.

A xeometría fractal é a rama da matemática que estuda as propiedades e comportamento dos fractais. Describe moitas situacións que non poden explicarse facilmente pola xeometría clásica, e aplicáronse na ciencia, tecnoloxía e arte xerada por computador. As raíces conceptuais dos fractais remontan ás tentativas de medir o tamaño de obxectos (por exemplo, a liña de costa dun país) para os cales as definicións tradicionais baseadas na xeometría euclidiana fallan.

Historia

Durante séculos, os obxectos e os conceptos da filosofía e da xeometría euclidiana consideráronse como os que mellor describían o mundo en que vivimos. A descuberta de xeometrías non euclidianas introduciu novos obxectos que representan certos fenómenos do Universo, tal como se pasou cos fractais. Así, considérase hoxe que tales obxectos retratan moitas formas e fenómenos da Natureza.

A idea dos fractais tivo a súa orixe no traballo dalgúns científicos entre 1857 e 1913. Ese traballo deu a coñecer algúns obxectos, catalogados como "demos", que se supuña non teren gran valor científico.

En 1872, Karl Weierstrass achou o exemplo dunha función coa propiedade de ser continua en todo seu dominio, pero en ningunha parte diferenciábel. O gráfico desta función chámase actualmente fractal. En 1904, Helge von Koch, non satisfeito coa definición moi abstracta e analítica de Weierstrass, deu unha definición máis xeométrica dunha función similar, actualmente coñecida como Koch snowflake (ou folerpa de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adicións de triángulos ao perímetro dun triángulo inicial. Cada vez que se engaden novos triángulos, o perímetro medra, aproximándose fatalmente ao infinito. Desa maneira, o fractal abrangue unha área finita dentro dun perímetro infinito.

Houbo moitos máis traballos relacionados con estas figuras, pero esta ciencia só conseguiu desenvolverse plenamente a partir da década de 60, co auxilio da informática. Un dos pioneiros a usar esta técnica foi Benoît Mandelbrot, un matemático que xa viña estudando tales figuras. Mandelbrot descubriu un dos fractais máis coñecidos, o conxunto de Mandelbrot.

Categorías de fractais

Aumento de 350 veces do conxunto de Mandelbrot mostra os pequenos detalles repetindo o conxunto enteiro.

Os fractais poden agruparse en tres categorías principais. Estas categorías determínanse polo modo en que o fractal se forma ou xera:

Sistema de funcións iteradas — Posúen unha regras fixas de substitución xeométrica. Conxunto de Cantor, tapete de Sierpinski, Sierpinski gasket, curva de Peano, felepa de neve de Koch, curva do dragón de Harter-Heighway, T-Scare, esponxa de Menger, son algúns exemplos deste tipo de fractal.
Fractais definidos por unha relación de recorrencia en cada punto do espazo (tal como o plano complexo). Como exemplos deste tipo están o conxunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov. Estes tamén se chaman fractais de fuga do tempo.
Fractais aleatorios, xerados por procesos estocásticos en vez de determinísticos, por exemplo, terreos fractais e o voo de Lévy.

Tamén se poden clasificar de acordo coa súa autosimilitude. Hai tres tipos de autosimilitude atopados nos fractais:

Autosimilitude exacta: é a forma en que é máis evidente. O fractal é idéntico en diferentes escalas. Os fractais xerados por sistemas de funcións iterativas xeralmente presentan unha autosimilitude exacta.
Cuasiautosimilitude: é unha forma máis solta de autosimilitude. O fractal aparenta ser aproximadamente (mais non exactamente) idéntico en escalas diferentes. Os fractais case-autosimilares conteñen pequenas copias do fractal enteiro de maneira distorsionada ou dexenerada. Os fractais definidos por relacións de recorrencia son xeralmente case-autosimilares, mais non exactamente autosimilares.
Autosimilitude estatística: é a forma menos evidente. O fractal posúe medidas numéricas ou estatísticas que se preservan en diferentes escalas. As definicións dos fractais xeralmente implican algunha forma de autosimilitude estatística (mesmo a dimensión fractal é unha medida numérica preservada en diferentes escalas). Os fractais aleatorios son exemplos de fractais que posúen autosimilitude estatística, mais non son exactamente nin case autosimilares.

En calquera caso , non todos os obxectos autosimilares se consideran fractais. Unha liña recta (Euclidiana), por exemplo, é exactamente autosimilar, mais o argumento de que obxectos euclidianos sexan fractais non é defendido case por ninguén. Mandelbrot argumentaba que a definición de fractal debería incluír non só fractais "verdadeiros" senón tamén obxectos euclidianos tradicionais, pois números irracionais nunha liña real representan propiedades complexas e non repetitivas.

Polo feito de que o fractal posúe unha granulometría infinita, ningún obxecto natural pode selo. Os obxectos naturais poden exhibir unha estrutura semellante ao fractal, porén cunha estrutura de tamaño limitado.

Definicións

Os fractais poden ser definidos segundo algunhas características intuitivas, pois faise difícil a conversión da definición matemática na linguaxe ordinaria, debido á falta de termos adecuados para a súa tradución.

Mandelbrot definiu fractal como

un sistema organizado para o cal a dimensión de Hausdorff-Besicovitch excede a estritamente a dimensión topolóxica (número enteiro que caracteriza a xeometría dun obxecto euclidiano – por exemplo: cero para un punto, un para unha liña etc.), onde os fractais cuxas estruturas sexan ego-semellantes, ou a dimensión de Hausdorff é igual a dimensión de Minkowski-Bouligand

.

A definición de fractal ten, porén, certos problemas de linguaxe:

Non hai ningún significado preciso para o termo "moi irregular".
Cando se di “dimensión”, pode haber dúbida na definición do concepto, pois o termo pode ter diversos significados (por exemplo: “tamaño”, “importancia, no sentido de valor-”, “orde de matrices na representación matricial dun grupo”, “grao”, “nun espazo vectorial, o número de vectores da base”, “nun espazo, o número mínimo de coordenadas necesarias á determinación unívoca dos seus puntos” etc.). Porén no caso dos fractais, dimensión significa estritamente o “número fraccionario ou irracional que caracteriza a xeometría dun fractal.”.
Hai moitos modos nos que un obxecto pode ser autosemellante. Pódese tentar explicar como unha especie de fractais “irmáns xemelgos idénticos”, onde existe a igualdade na semellanza física, porén as súas ‘personalidades’ son diferentes”. Isto ocorre cando as curvas se alimentan inicialmente dos mesmos datos, mais en determinado intre, hai un desvío nos valores dos datos, por exemplo, cando observamos dous fractais nunha escala 1:1, teñen exactamente a mesma aparencia, pero se os observarmos nunha dimensión 1:1 000 000, as figuras observadas son completamente diferentes.
Non todo fractal posúe repetitividade: dependendo dos dados inseridos (principalmente no dominio do tempo) este non terá en escalas menores a mesma aparencia, aparecendo distorsións da figura.

Exemplos

As árbores e os fieitos son fractais naturais que poden modelarse en computadores que usan algoritmos recursivos. Esta propiedade de repetividade está clara nestes exemplos, pois nun ramo dunha árbore ou na follaxe dunha samambaia pode observarse unha réplica en miniatura do todo. Non idéntico, porén semellante na estrutura.

Os fractais son xeralmente de forma engurrada (tanto en cálculos canto nas imaxes resultantes destes), Polo tanto, non son obxectos definíbeis pola xeometría tradicional. Iso quer dicir que os fractais tenden a ter detalles significantes, visíbeis baixo calquera punto de vista (ou sexa, as súas variacións visuais son perfectamente mensurábeis); cando houber unha ego-semellanza, isto pode ocorrer porque ao se observar baixo o “zoom” figuras semellantes observaremos a recursividade, ou repetividade destas.

Por exemplo, nunha forma euclidiana normal (como un círculo) esta parece máis achaiada e alisada cando se amplifica. Nunha ampliación infinita sería imposíbel se diferenciar entre o círculo e unha liña recta. No caso dos fractais, isto non acontece (aínda que, canto máis amplificarmos, máis nos aproximaremos da liña recta tamén - isto ocorre debida perda de dados en múltiplas amplificacións- ou sexa, os desvíos acontecen debido á imprecisión das insercións secuenciais dos datos).

A idea convencional de curvatura representada pola reciprocidade radial (en radiáns) nun círculo por aproximación, non pode ser usualmente aplicada en escalas moi grandes (neste caso, o “raio” de curvatura ficará fóra de escala, de aí a “aparencia” dunha liña recta).

Ao contrario, cos fractais, ao se aumentar a amplificación, revelaranse máis e máis detalles. Estes dependerán do grao de precisión e da cantidade de cifras decimais dos datos inseridos. As distorsións tendendo para a liña recta, ocorren xustamente polo feito de haber “falta de memoria” nas máquinas que executan o cálculo. Polo tanto, un fractal xamais alcanzará unha liña recta, salvo cando a fórmula que o constitúe así o permita.

Incluso as simples curvas suaves poden exhibir a propiedade fractal de autosimilitude: por exemplo a distribución de Pareto produce formas similares ao facer "zoom" sobre ela.

Entre os exemplos comúns de fractais están:

Os Fractais poden ser determinísticos ou estocásticos (ver George G. Stokes).

No caso da Teoría do Caos, podemos asociala totalmente aos fractais; tamén no coñecido conxunto de Mandelbrot podemos observar discos enteiros, de dimensión 2. Isto non é de sorprender, senón que o verdadeiramente sorprendente é que o limite do conxunto Mandelbrot tamén ten unha dimensión de Hausdorff de 2.

Frecuentemente na natureza atópanse aproximacións a fractais (fractais naturais). Estes obxectos exhiben unha estrutura complexa próxima aos obxectos matemáticos, porén finitas se as observarmos nunha escala maior.

Os fractais naturais están preto de nós, basta observarmos as nubes, as montañas, os ríos e os seus afluentes, os sistemas de vasos sanguíneos, os feixes nerviosos etc.

A pesar de existiren por toda a natureza, e de seren omnipresentes, estes obxectos soamente foron realmente estudados a fondo no século XX.

Harrison [1] Arquivado 20 de abril de 2012 en Wayback Machine. estendeu o cálculo Newtoniano para o dominio fractal, tamén inseriu os teoremas Gauss da diverxencia, o Teorema de Green, e o Teorema de Stoke.

Os Fractais son normalmente xerados a través de computadores con softwares específicos. A través do seu estudo podemos describir moitos obxectos extremadamente irregulares do mundo real. Como exemplo de softwares temos o Xaos -http://xaos.sourceforge.net/index.php.

Os meteoroloxistas utilizan o cálculo fractal para verificar as turbulencias da atmosfera incluíndo dados como nubes, montañas, a propia turbulencia, os litorais, e árbores. As técnicas fractais tamén están empregándose para a compactación de imaxes a través da compresión fractal, alén das máis diversas disciplinas científicas que utilizan o proceso.

Montañas fractais

A superficie dunha montaña pode modelarse nun computador usando un fractal: comezamos cun triángulo no espazo 3D. Áchanse os puntos centrais das 3 liñas que forman o triángulo e créanse 4 novos triángulos a partir dese triángulo. Móvense despois aleatoriamente eses puntos centrais para arriba ou para baixo dentro dunha gama de valores estabelecido. Vaise repetindo o mesmo procedemento pero facendo os movementos dos puntos centrais dentro dunha gama de valores que en cada iteración é igual a metade da anterior.

Computación dun fento

Un fento fractal pode xerarse usando un sistema de funcións iteradas comezando cun punto na orixe $(x_{0}=0,y_{0}\geq 0)$ e determinando iterativamente novos puntos a partir do resultado da aplicación aleatoria dunha das 4 diferentes transformacións de coordenadas:

${\begin{cases}x_{n+1}=0\\y_{n+1}=0.16y_{n}\end{cases}}$

Esta transformación, que se realiza só o 1% das veces, mapea calquera punto para un punto no segmento de recta mostrado en verde na figura.

${\begin{cases}x_{n+1}=0.2x_{n}-0.26y_{n}\\y_{n+1}=0.23x_{n}+0.22y_{n}+1.6\end{cases}}$

Esta transformación, que se realiza só 7% das veces, mapea calquera punto dentro do rectángulo negro para un punto dentro do rectángulo vermello na figura.

${\begin{cases}x_{n+1}=-0.15x_{n}+0.28y_{n}\\y_{n+1}=0.26x_{n}+0.24y_{n}+0.44\end{cases}}$

Esta transformación, que se realiza só 7% das veces, mapea calquera punto dentro do rectángulo negro a un punto dentro do rectángulo azul escuro na figura.

${\begin{cases}x_{n+1}=0.85x+0.04y_{n}\\y_{n+1}=-0.004x+0.85y_{n}+1.6\end{cases}}$

Esta transformación, que se realiza o 85 % das veces, mapea calquera punto dentro do rectángulo negro a un punto dentro do rectángulo azul claro na figura.

A primeira transformacións de coordenadas deseña o couce. A segunda, deseña a primeira folla da esquerda do fieito. A terceira, deseña a primeira folla da dereita do fieito. E a cuarta xera copias sucesivas e garante que o todo é unha réplica maior de cada folla.

Caos

A pesar de que os efectos da Teoría do Caos están tan presentes, como na meteoroloxía, na irregularidade da pulsación cardíaca, no pingar dunha billa, nos relampos, nas montañas, nas árbores, no crecemento dunha poboación, no partir dun vaso no chan, non foi ata hai poucos anos atrás cando comezou a estudarse; talvez antes, sen o recurso dos computadores, os cálculos necesarios, que son bastante repetitivos, facíanse excesivamente pesados.

Curiosamente, a primeira experiencia real sobre o caos fíxoa un meteorólogo, Edward Lorenz. Nas súas previsións sobre o tempo, xeradas a través dun programa de computador que el codificara, constatou que, aínda introducindo gran parte da mesma secuencia no padrón orixinal, o resultado final era diferente. Iso aconteceu un día, cando, ao tentar verificar unha mesma secuencia, comezou polo medio para aforrar tempo. El introduciu só os tres primeiros decimais dunha secuencia de seis. Cando o computador a resolveu, verificou que o padrón obtido era completamente diferente do alcanzado na secuencia anterior. Desta forma, Lorenz demostrou que mesmo condicións iniciais moi próximas da orixinais, dificilmente atinxe o mesmo resultado. Ese efecto ficou coñecido como “efecto bolboreta”. A diferenza entre os puntos iniciais de dúas curvas distintas é tan pequena que se compara ao bater das ás dunha bolboreta. E o simple bater das ás dunha bolboreta, hoxe, produce unha pequena alteración na atmosfera que pode, nun determinado espazo de tempo, producir un efecto diferente do que acontecería noutro caso.

Atractor de Lorenz

Introducido por Edward Lorenz en 1963, o Atractor de Lorenz é un sistema non lineal tridimensional determinista dinámico derivado de ecuacións simplificadas tiradas das convencionais ecuacións dinámicas da atmosfera. Para un determinado conxunto de parámetros o sistema exhibe un comportamento caótico e mostra o que hoxe en día se chama atractor estraño. O atractor estraño, neste caso, é un fractal.

Véxase tamén

Outros artigos

Ligazóns externas

Varios applets de Java que xeran fractais Arquivado 16 de xullo de 2007 en Wayback Machine.
O arquivo de Fractais publicado no USENET
Fractal - Un tutorial, tutorial en portugués sobre fractais.
IFS Ilusións - Galerías de Fractais
Sterling2 freeware generator de fractais