Trazado da función de Weierstrass no intervalo [−2, 2]. Esta función ten un comportamento fractal: cada zoom (ver o círculo vermello) é semellante ao trazado da curva completa.Atractor estraño de Lorenz
En matemáticas e física, a Teoría do caos refírese ao comportamento de certos sistemas dinámicos non lineares que, baixo certas condicións, exhiben o fenómeno coñecido como caos, caracterizado maiormente pola sensibilidade ás condicións iniciais (véxase efecto bolboreta). Como resultado desta sensibilidade, o comportamento observado dos sistemas que se comportan como caóticos aparenta aleatorio, aínda que o modelo en si é determinista no senso de que está definido e non contén parámetros aleatorios. Como exemplos de tales sistemas pódese incluír a atmosfera, o sistema solar, as placas tectónicas, as turbulencias nos fluídos, a economía e o crecemento da poboación.
O método científico
A partir de William de Ockham (Guillerme de Occam), na súa teoría coñecida por Navalla de Occam, onde "...as mellores teorías son as máis simples", a ciencia pasou a utilizar un método lóxico e simple para chegar ás consideradas entón verdades científicas.
Galileo, Newton e Laplace
Galileo Galilei introduciu algunhas das bases da metodoloxía científica presas á simplicidade da obtención de resultados.
Segundo aquela metodoloxía, a ciencia continuou gradualmente a súa expansión en dirección á determinación das realidades físicas.
Polo tanto, continuando neste raciocinio, o comportamento de tres corpos gravitacionais podería ser perfeitamente previsíbel, a pesar do incremento do esforzo de cálculo ao existir máis datos para a execución dos cálculos necesarios á determinación de posición.
Porén, ao incorporarse máis corpos nas determinacións de posicións, comezaron a ocorrer certos desvíos imprevisíbeis. Newton traduciu estes desvíos ou efectos a través de ecuacións diferenciais que mostraban o sistema na súa evolución. E este tendía á formación dun sistema de ecuacións diferenciais non lineares.
Cabe aquí unha observación: existen dúas formas ou tipos de ecuacións diferenciais: as ecuacións diferenciais lineares cuxa resolución é explícita, e as ecuacións diferenciais non lineares, cuxas resolucións en moitos casos son imposíbeis. Polo tanto ao encontrar no sistema gravitacional tales ecuacións, estas tornábanse imposíbeis de resolución.
En liña con esta crenza da computabilidade de calquera fenómeno, Laplace afirmou que “...(sic) unha intelixencia coñecendo todas as variábeis universais en determinado momento, podería compor nunha soa fórmula matemática a unificación de todos os movementos do Universo.
Consecuentemente deixarían de existir para esta intelixencia o pasado e o futuro, pois aos seus ollos todos os eventos serían resultantes do momento presente.”
Perseguindo a harmonía da física de entón, na busca dunha resposta para a unificación da natureza, Laplace formulou e desenvolveu os principios da teoría das probabilidades, traballou nas ecuacións diferenciais, criou a transformada de Laplace e a ecuación de Laplace.
Henri Poincaré
Henri Poincaré en 1880 aproximadamente, investigou os problemas relacionados coa imposibilidade da resolución das ecuacións diferenciais non lineares, na busca das leis da uniformidade e da unificación dos sistemas físicos. O seu obxectivo era describir o que ocorrería matematicamente pola introdución dunha masa gravitacional complementar nun sistema duplo, isto é, pasando a análise de dous a tres corpos gravitacionais interactuando mutuamente. Verificou que nunha unha análise máis ampla, sen se ater a detalles cuantitativos e facendo comparacións cualitativas, isto é, estudando o sistema como un todo. Acabou descubrindo que os sistemas de masas gravitacionais triplas evoluían sempre a formas cuxo equilibrio era irregular. As órbitas mutuas tendían a non ser periódicas, tornábanse complexas e irregulares.
Poincaré descubriu que no canto de existiren órbitas ordenadas, equilibradas e regulares, ou un sistema equilibrado e harmónico, o que ocorrían eran sistemas verdadeiramente desestabilizados, onde o que prevalecería non era a orde natural, e si o caos, a confusión, pois os movementos eran aleatorios.
Os resultados observados que levaban á confusión e á desarmonía, non coincidían coa harmonía que ocorría na mecánica clásica. Poincaré neste traballo acabou por descubrir unha posibilidade da existencia dun sistema desordenado, con variábeis ao acaso. Na época non houbo un interese práctico na súa teoría de órbitas irregulares, sendo moitas veces considerada a teoría unha aberración matemática. Continuaron algúns estudos escasos por outros matemáticos.
Teoría do Caos
Chámase sistema a un conxunto de obxectos estudados que se interrelacionan . Entre os sistemas considéranse dúas categorías: lineares e non-lineares, que diverxen entre si na súa relación de causa e efecto. Na primeira a resposta a un disturbio é directamente proporcional á intensidade deste. Na segunda, a resposta non é necesariamente proporcional á intensidade do disturbio, e é esta a categoría de sistemas que serve de obxecto a teoría do caos, máis coñecidos como sistemas dinámicos non-lineares.
Esta teoría estuda o comportamento aleatorio e imprevisíbel dos sistemas, mostrando unha faceta onde poden ocorrer irregularidades na uniformidade da natureza como un todo. Isto ocorre a partir de pequenas alteracións que aparentemente nada teñen que ver co evento futuro, alterando toda unha previsión física dita precisa.
Unha das ideas centrais desta teoría, é que os comportamentos casuais (aleatorios) tamén se gobernan por leis e que estas poden predicir dous resultados para unha entrada de dados. O primeiro é unha resposta ordenada e lisa e cuxo futuro dos eventos ocorre dentro de marxes estatísticas de erros previsíbeis. O segundo é unha resposta tamén ordenada, onde porén a resultante futura dos eventos é corrugada, onde a superficie é áspera, caótica, ou sexa, ocorre unha contradición neste punto onde é previsíbel que os resultados dun determinado sistema será caótico.
Un exemplo claro sería unha pedra botada a unha piscina, as ondas xeradas na caída da pedra propáganse ata as marxes, reflicten e retornan, cruzándose entre si e, polo tanto, interactuando. Continuando novamente as ondas van ás marxes, porén, xa distorsionadas debido ás reflexións anteriores e ás interaccións ocasionadas polos cruzamentos entre si. Neste momento comezan xa a ocorrer algúns movementos aparentemente caóticos, porén aínda previsíbeis pois son padróns das ondas.
Mais se comezarmos a botar pedras aleatoriamente na mesma piscina, cantas máis pedras botarmos, máis caótico será o padrón das ondas na superficie.
Imaxinemos agora porén, que no fondo desta piscina exista area finísima, a pesar dos movementos aleatorios na superficie da piscina, no fondo daranse determinados padróns nesta area, caóticos si, mais seguirán un padrón de ondas de diversas formas, tamaños, alturas, estas mudarán á medida en que o corrugamento da superficie muda; porén, a pesar de todo o caos dos movementos, pódese recoñecer un padrón.
Isto ocorre porque pequenas alteracións na alimentación de datos en sistemas de cálculo de previsións poden provocar mudanzas drásticas, inclusive rupturas a longo prazo. Pois en función dun crecemento inflacionario de realimentación de datos que realimentan por consecuencia a datos futuros, estes poden realimentar o sistema con respostas que levan ao crecemento das alteracións nunha espiral caótica que mudará toda a previsión estatística daquel sistema, ficando completamente fóra das marxes de erro convencionais, porén, sempre se recoñece un padrón, aínda que aleatorio.
En función deste efecto caótico, a previsibilidade comportamental dos sistemas en xeral, sexan climáticos dunha determinada rexión, ou movementos económicos á exemplo das movimentacións das bolsas de valores, ou poboacións de insectos dun determinado ecosistema, teñen unha marxe de erro bastante elástica cando se compara coa marxe convencional.
Edward Lorenz
Edward Lorenz, matemático especializado en meteoroloxía, de pose dun computador, na década de 60 no século XX, un avanzado Royal McBee Modelo LPG-30 (Aínda que unha máquina simple, era avanzada para a época, actualmente, equivalenteen potencia de cálculo á unha calculadora científica normal) do departamento de estudos atmosféricos do Instituto de Tecnoloxía de Massachusetts (MIT). Utilizou un conxunto de fórmulas matemáticas coa finalidade de simular un determinado comportamento climático, para desenvolver novos modelos de previsión meteorolóxica.
O programa utilizado por Lorenz tiña por finalidade a impresión de series numéricas que representaban parámetros atmosféricos como temperatura, velocidade e dirección das masas de ar, ascendentes e descendentes, ben como as direccións dos ventos, alén da evolución da presión barométrica na atmosfera como un todo. As ecuacións diferenciais utilizadas eran bastante simples, porén o resultado mostrado despois do procesamento dos dados xerou surpresa.
Isto ocorreu no inverno de 1961 cando Lorenz resolveu examinar novamente algúns datos cun programa de simulador climático recentemente creado. Como daquela os computadores eran demasiados lentos, o matemático, intentando repetir unha secuencia de datos, dixitouna sen os últimos tres díxitos da serie que pretendía copiar: no canto de 0,506127 dixitou 0,506 e saíu para tomar un café.
A causa que o levou a utilizar a metade da serie de dados anteriores como punto de partida era a economía de tempo. Unha vez que os dados de entrada eran os mesmos, as dúas series deberían evolucionar paralelamente idénticas. A única diferenza estaba soamente na utilización de parte daqueles dados xa calculados que serían re-inseridos á partir daquel punto.
A simulación en cuestión era a evolución climática ao longo de meses nunha determinada rexión dos Estados Unidos.
Aquí debemos frisar que: se a alimentación de datos fose idéntica, o resultado debería ser idéntico.
Cando volveu, Edward percebeu unha diverxencia entre os resultados e, por consecuencia a semellanza entre estes á medida en que o tempo de simulación avanzaba acabou desaparecendo.
O matemático, como calquera usuario, botoulle a culpa ao computador imaxinando que o equipamento estaría avariado, pois a lóxica era clara, para dados idénticos de entrada, a saída debería ser idéntica, e a non concordancia era ilóxica.
Despois de investigar e refacer os cálculos, Lorenz acabou por atopar o defecto. O computador traballaba nos seus cálculos cunha gama de precisión de seis cifras, das cales 5 decimais, porén durante a impresión só se mostraban tres cifras decimais, e non cinco.
Un detalle: No inicio da década de sesenta no século XX, usualmente eran utilizadas regras de cálculo, estas tiñan precisión razoábel dunha cifra decimal, no máximo dúas. En casos de regras carísimas e grandes de carregar, conseguíase unha precisión máxima de ata tres cifras decimais, e iso aínda dependía da agudeza visual de quen calculaba! Polo tanto, na época os computadores convencionais que calculaban con cinco ou seis cifras decimais tiñan un grao de precisión absurdo!
Cando Lorenz copiou os datos polo tanto, alimentou o computador con tres cifras, o que acarrexou un erro de entrada de datos de décimos de milésimos, e isto feito da metade da serie en diante acarrexou unha diferenza de cálculo que foi aumentando o erro exponencialmente, ou sexa, ocorreu especie dunha espiral inflacionaria, onde o erro realimentaba o erro afastando os resultados entre si.
Efecto bolboreta
Este efecto foi chamado futuramente por Lorenz de Efecto bolboreta ou sexa unha dependencia sensíbel dos resultados finais ás condicións iniciais da alimentación dos datos. Normalmente este efecto é ilustrado coa noción de que o bater das azas dunha bolboreta nun extremo do globo terrestre, pode provocar unha tormenta no outro extremo no espazo de tempo de semanas.
O efecto bolboreta demostra a imposibilidade dunha previsión meteorolóxica perfeita e proba que o determinismo de Laplace para certos casos non funciona, pois para se ter unha previsión meteorolóxica de extrema precisión, os dados de alimentación alén de seren infinitos, deberían ser de precisión infinita, polo tanto, a memoria física de procesamento de datos tamén debería ser infinita. Sendo imposíbel dispor de tal sistema, é imposíbel executar unha previsión determinista nestas bases...
Ecuacións de Lorenz
Edward Lorenz continuando na súa investigación dos sistemas dinámicos, elixiu tres ecuacións diferenciais que acabaran por ficar coñecidas como Ecuacións de Lorenz para representar graficamente o comportamento dinámico a través de computadores.
Lorenz continuou observando os efectos caóticos, notou que variacións moito pequenas aleatorias poderían xerar un efecto dominó que elevaba o grao de incerteza en eventos futuros, realimentando os graos de aleatoriedade.
Desenvolveu teorías que demostraban que a partir de variacións mínimas habían aceleracións nas precipitacións de dados en determinadas direccións que mudaban completamente o resultado dunha determinada experiencia.
En función das súas constatacións o meteoroloxista chegou á conclusión que as previsións de fenómenos climáticos só poderían adquirir certo grao de precisión utilizando ecuacións matemáticas que levasen en conta o alto grao de incerteza nos eventos.
Atractor
Un atractor pode ser definido en función do comportamento dun sistema dinámico que, independentemente do punto de partida, ten a tendencia a converxer a un punto, chamado "atractor".
Un exemplo clásico dun atractor é unha bola rolando sobre un plano: debido ao efecto do rozamento, o movemento da bola tenderá a convereir sempre a unha situación na que a velocidade é nula. Este é o atractor, o movemento cero.
Outro exemplo de atractor é un péndulo en movemento. O seu balance sempre tenderá a converxer a unha oscilación na que o período é constante, isto é, o atractor é o período constante.
Atractor estraño
Ao observarmos os resultados dos estados das Ecuacións de Lorenz e os representarmos nun gráfico tridimensional, observaremos que haberá unha converxencia en dirección a un atractor tridimensional.
Atractor estraño de Lorenz
A figura resultante terá un padrón que non corresponderá nin á órbitas, nin á imobilizacións, isto é, o resultado obtido, pode ser considerado diferente do que se esperaría dun atractor, ou sexa o resultado que poderá ser considerado estraño.
Logo, no caso de enriba, o sistema en cuestión non asumirá xamais dúas veces o mesmo estado. Haberá si unha rexión onde existirán máis puntos, formando ata patróns, mais a figura e os seus puntos serán caóticos. Este sistema caótico é considerado imprevisíbel, porén ocorre o feito estraño, de ao mesmo tempo en que é o sistema caótico, contraditoriamente converxe a un atractor determinado.
A concepción destas ideas, gañou forza co uso das computadoras.
Década de oitenta do século XX
Ata a década de 1980, os físicos defendían a tese de que o universo estaba gobernado por leis precisas e estáticas, polo tanto poderíanse prever os eventos que ocorren nel. Porén a teoría do caos mostrou que certos eventos universais poden ocorrer de modo aleatorio.
Cando se estudan os mecanismos que procuran describir a teoría do caos, os investigadores deparan co imprevisíbel en todos os momentos e en todas as partes do desenvolvemento teórico.
Bons exemplos de sistemas caóticos son o a formación de tempestades, onde calquera pequena alteración, dirección, velocidade de ventos por exemplo, pode provocar grandes mudanzas nun espazo de tempo maior.
As ideas a ter en conta nun sistema caótico básico son tres:
A partir dos estados dun determinado sistema onde existen variábeis tales como masa, presión, temperatura, velocidade, posición etc, estes poden ser representados por coordenadas, nun determinado espazo cuxa configuración pode ser considerada multidimensional, dun punto cuxas coordenadas son determinadas polas variábeis. Na física clásica podemos describir o comportamento dun sistema dinámico xeometricamente como o movemento dun atractor. Xa nos sistemas considerados caóticos, os atractores son denominados atractores estraños, isto ocorre polo elevado grao de incerteza dos resultados destes sistemas.
Os atractores estraños deben ter estruturas detalladas en todas as escalas de magnificación. En función disto desenvolveuse un modelo conceptual chamado fractal, que ten unha forma xeométrica complexa e exhibe unha formación estrutural que ten unha propiedade chamada de auto-similitude. Estes sistemas complexos tornaron posíbel o progreso no procesamento de datos gráficos.
Teoría do Caos representada na sabedoría popular
A Teoría do Caos é coñecida hai varios séculos e representada na sabedoría popular:
Por vontade dun cravo, perdeuse a ferradura;
Por culpa dunha ferradura, perdeuse o cabalo; Por culpa dun cabalo, perdeuse o cabaleiro; Por culpa dun cabaleiro, perdeuse a batalla;
