Forma cadrática

En matemáticas, unha forma cadrática é un polinomio con termos todos de grao dous (un polinomio homoxéneo de grao 2). Por exemplo, $${\displaystyle 4x^{2}+2xy-3y^{2}}$$

é unha forma cadrática nas variábeis x e y. Os coeficientes adoitan pertencer a un corpo fixo K, como os números reais ou complexos, e fálase dunha forma cadrática sobre K. Se K = R, e a forma cadrática é igual a cero só cando todas as variábeis son simultaneamente cero, entón é unha forma cadrática definida; se non é unha forma cadrática isotrópica.

As formas cadráticas non se deben confundir cunha ecuación cadrática, que só ten unha variábel e inclúe termos de grao dous ou menos. Unha forma cadrática é un caso do concepto máis xeral de polinomios homoxéneos.

As formas cadráticas son polinomios cadráticos homoxéneos en n variábeis. Nos casos dunha, dúas e tres variábeis chámanse unarias, binarias e ternarias e teñen a seguinte forma explícita: $${\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(unaria)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(binaria)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(ternaria)}}\end{aligned}}}$$ onde a , ... , f son os coeficientes.^[1]

Usando coordenadas homoxéneas, unha forma cadrática distinta de cero en n variábeis define unha cádrica (n − 2) dimensional no espazo proxectivo (n − 1) dimensional. Esta é unha construción básica en xeometría proxectiva. Deste xeito pódense visualizar formas cadráticas reais tridimensionais como seccións cónicas. Un exemplo é o espazo euclidiano tridimensional e o cadrado da norma euclidiana que expresa a distancia entre un punto con coordenadas (x, y, z) e a orixe: $${\displaystyle q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\left\|(x,y,z)\right\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$$

Calquera matriz n × n denotada por A determina unha forma cadrática q_A en n variábeis por

${\displaystyle q_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} ,}$ onde A = (a_ij).

Considere o caso das formas cadráticas en tres variábeis x, y, z. A matriz A ten a forma

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{bmatrix}}.}$

A fórmula anterior dá

${\displaystyle q_{A}(x,y,z)=ax^{2}+ey^{2}+kz^{2}+(b+d)xy+(c+g)xz+(f+h)yz.}$

Así, dúas matrices diferentes definen a mesma forma cadrática se e só se teñen os mesmos elementos na diagonal e os mesmos valores para as sumas b + d, c + g e máis f + h. En particular, a forma cadrática q_A está definida por unha matriz simétrica única ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&{\frac {b+d}{2}}&{\frac {c+g}{2}}\\{\frac {b+d}{2}}&e&{\frac {f+h}{2}}\\{\frac {c+g}{2}}&{\frac {f+h}{2}}&k\end{bmatrix}}.}$

Isto xeneralízase a calquera número de variábeis do seguinte xeito.

Dada unha forma cadrática q_A, definida pola matriz A = (a_ij), a matriz

${\displaystyle B=\left({\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}\right)}$

é simétrica, define a mesma forma cadrática que A, e é a única matriz simétrica que define q_A.

Así, sobre os números reais (e, máis xeralmente, sobre un corpo de característica diferente de dous), hai unha correspondencia un a un entre as formas cadráticas e as matrices simétricas que as determinan.

Un problema fundamental é a clasificación de formas cadráticas reais baixo un cambio linear de variábeis.

Jacobi demostrou que, para cada forma cadrática real, hai unha diagonalización ortogonal; é dicir, un cambio ortogonal de variábeis que pon a forma cadrática nunha "forma diagonal"

${\displaystyle \lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2},}$

onde a matriz simétrica asociada é diagonal. A maiores, os coeficientes λ₁, λ₂, ..., λ_n determínanse unicamente ata unha permutación.^[2]

Se o cambio de variábeis vén dado por unha matriz invertíbel que non é necesariamente ortogonal, pódese supoñer que todos os coeficientes λ_i son 0, 1 ou −1. A lei de inercia de Sylvester estabelece que as cantidades de cada 0, 1 e −1 son invariantes da forma cadrática, no sentido de que calquera outra diagonalización conterá as mesmo cantidades. A sinatura da forma cadrática é a terna (n₀, n₊, n₋), onde se contan o número de 0s, o número de 1s e o número de −1s, respectivamente. A lei de inercia de Sylvester mostra que esta é unha cantidade ben definida unida á forma cadrática.

O caso no que todos λ_i teñen o mesmo signo é especialmente importante: neste caso a forma cadrática chámase definida positiva (todo 1) ou definida negativa (todo -1). Se ningún dos termos é 0, entón chámase forma non dexenerada; isto inclúe as formas cadráticas definidas positivas, definidas negativas e isotrópicas (unha mestura de 1 e −1); de xeito equivalente, unha forma cadrática non dexenerada é aquela cuxa forma simétrica asociada é unha forma bilinear non dexenerada. Un espazo vectorial real cunha forma cadrática indefinida non dexenerada de índice (p, q) (onde p denota o número de 1s e q denota o número de −1s) é a miúdo escrito como R^p,q particularmente na teoría física do espazo-tempo.

Tamén se pode definir o discriminante dunha forma cadrática, concretamente a clase do determinante dunha matriz representativa en K / (K^×)² (ata cadrados distintos de cero) e para unha forma cadrática real, resulta ser unha invariante máis forte que a sinatura, tomando valores de só "positivo, cero ou negativo". O cero corresponde a dexenerada, mentres que para unha forma non dexenerada é a paridade do número de coeficientes negativos, (−1)^n₋ .

Estes resultados reformúlanse a continuación dun xeito diferente.

Sexa q unha forma cadrática definida nun espazo vectorial real n-dimensional. Sexa A a matriz da forma cadrática q nunha base dada. Isto significa que A é unha matriz n × n simétrica tal que

${\displaystyle q(v)=x^{\mathsf {T}}Ax,}$

onde x é o vector columna de coordenadas de v na base escollida. Baixo un cambio de base, a columna x multiplícase pola esquerda por unha matriz invertíbel S, n × n, e a matriz cadrada simétrica A transfórmase noutra matriz cadrada simétrica B do mesmo tamaño segundo a fórmula

${\displaystyle A\to B=S^{\mathsf {T}}AS.}$

Calquera matriz simétrica A pode transformarse nunha matriz diagonal

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}}$

mediante unha elección axeitada dunha matriz ortogonal S, e as entradas diagonais de B determínanse de forma única: este é o teorema de Jacobi. Se se permite que S sexa calquera matriz invertíbel, pódese facer que B teña só 0, 1 e -1 na diagonal, e o número de entradas de cada tipo (n₀ para 0, n₊ para 1 e n₋ para −1) depende só de A. Esta é unha das formulacións da lei de inercia de Sylvester e os números n₊ e n₋ chámanse índices de inercia positivo e negativo. Aínda que a súa definición implicaba unha elección de unha base e a consideración da correspondente matriz simétrica real A, a lei de inercia de Sylvester significa que son invariantes da forma cadrática q.

Unha forma cadrática sobre un corpo K é un mapa q : V → K dun espazo vectorial de dimensión finita en K tal que q(av) = a²q(v) para todo a ∈ K, v ∈ V e a función q(u + v) − q(u) − q(v) é bilinear.

Máis concretamente, unha forma cadrática n-aria sobre un corpo K é un polinomio homoxéneo de grao 2 en n variábeis con coeficientes en K:

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.}$

Esta fórmula pódese reescribir usando matrices: sexa x o vector columna con compoñentes x₁, ... , x_n e sexa A = (a_ij) a matriz n × n sobre K cuxas entradas son os coeficientes de q. Entón

${\displaystyle q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax.}$

Un vector v = (x₁, ..., x_n) é un vector nulo se q(v) = 0.

Dúas formas cadráticas n-arias φ e ψ sobre K son equivalentes se existe unha transformación linear non singular C ∈ GL(n, K) tal que

${\displaystyle \psi (x)=\varphi (Cx).}$

Sexa a característica de K diferente de 2.^[3] A matriz de coeficientes A de q pode substituírse pola matriz simétrica (A + A^T)/2 coa mesma forma cadrática, polo que se pode asumir desde o principio que A é simétrica. A maiores, unha matriz simétrica A está determinada de forma única pola forma cadrática correspondente. Baixo unha equivalencia C, a matriz simétrica A de φ e a matriz simétrica B de ψ están relacionadas do seguinte xeito:

${\displaystyle B=C^{\mathsf {T}}AC.}$

A forma bilinear asociada dunha forma cadrática q defínese por

${\displaystyle b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.}$

Así, b_q é unha forma bilinear simétrica sobre K con matriz A. Pola contra, calquera forma bilinear simétrica b define unha forma cadrática

${\displaystyle q(x)=b(x,x),}$

e estes dous procesos son inversos entre si. Como consecuencia, sobre un corpo de característica non igual a 2, as teorías das formas bilineares simétricas e das formas cadráticas en n variábeis son esencialmente as mesmas.

Dado un espazo vectorial n-dimensional V sobre un corpo K, unha forma cadrática en V é unha función Q : V → K que ten a seguinte propiedade: para algunha base, a función q que mapea as coordenadas de v ∈ V en Q(v) é unha forma cadrática. En particular, se V = Kⁿ coa súa base estándar, temos

${\displaystyle q(v_{1},\ldots ,v_{n})=Q([v_{1},\ldots ,v_{n}])\quad {\text{para}}\quad [v_{1},\ldots ,v_{n}]\in K^{n}.}$

As fórmulas de cambio de base mostran que a propiedade de ser unha forma cadrática non depende da elección dunha base específica en V, aínda que a forma cadrática q depende da elección da base.

Un espazo vectorial de dimensión finita cunha forma cadrática chámase espazo cadrático .

O mapa Q é unha función homoxénea de grao 2, o que significa que ten a propiedade de que, para todo a en K e v en V:

${\displaystyle Q(av)=a^{2}Q(v).}$

Cando a característica de K non é 2, o mapa bilinear B : V × V → K sobre K defínese:

${\displaystyle B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).}$

Esta forma bilinear B é simétrica. É dicir, B(x, y) = B(y, x) para todo x, y en V, e determina Q: Q(x) = B(x, x) para todo x en V.

O par (V, Q) formado por un espazo vectorial de dimensión finita V sobre K e un mapa cadrático Q de V en K chámase espazo cadrático, e B tal como se define aquí é a forma bilinear simétrica asociada a Q. A noción de espazo cadrático é unha versión sen coordenadas da noción de forma cadrática. Ás veces, Q tamén se denomina forma cadrática.

Dous espazos cadráticos de dimensión n (V, Q) e (V′, Q′) son isométricos se existe unha transformación linear invertíbel T : V → V′ (isometría) tal que

${\displaystyle Q(v)=Q'(Tv){\text{ para todo }}v\in V.}$

As clases de isometría de espazos cadráticos n-dimensionais sobre K corresponden ás clases de equivalencia de formas cadráticas n-arias sobre K.

Dous elementos v e w de V chámanse ortogonais se B(v, w) = 0. O kernel dunha forma bilinear B está formado polos elementos que son ortogonais a todo elemento de V. Q é non singular se o kernel da súa forma bilinear asociada é {0}. Se existe un v distinto de cero en V tal que Q(v) = 0, a forma cadrática Q é isotrópica, doutro modo é definida. Esta terminoloxía tamén se aplica aos vectores e subespazos dun espazo cadrático. Se a restrición de Q a un subespazo U de V é idéntico a cero, entón U é totalmente singular.

O grupo ortogonal dunha forma cadrática non singular Q é o grupo dos automorfismos lineares de V que conservan Q: é dicir, o grupo de isometrías de (V, Q) en si mesmo.

Se un espazo cadrático (A, Q) ten un produto polo que A é unha álxebra sobre un corpo e cumpre

${\displaystyle \forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(x)Q(y),}$

entón é unha álxebra de composición.

Toda forma cadrática q en n variábeis sobre un corpo de característica non igual a 2 é equivalente a unha forma diagonal

${\displaystyle q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$

Tal forma diagonal é a miúdo denotada como ⟨a₁, ..., a_n⟩. A clasificación de todas as formas cadráticas ata equivalencia pódese reducir así ao caso das formas diagonais.

Usando coordenadas cartesianas en tres dimensións, sexa x = (x, y, z)^T, e sexa A unha matriz simétrica de 3 por 3. Entón, a natureza xeométrica do conxunto solución da ecuación x^TAx + b^Tx = 1 depende dos eigenvalores da matriz A.

Se todos os eigenvalores de A son distintos de cero, entón o conxunto de solucións é un elipsoide ou un hiperboloide.  Se todos os valores propios son positivos, entón é un elipsoide; se todos os eigenvalores son negativos, entón é un elipsoide imaxinario (obtemos a ecuación dun elipsoide mais con raios imaxinarios); se algúns valores propios son positivos e outros son negativos, entón é un hiperboloide.

Se existen un ou máis valores propios λ_i = 0, entón a forma depende do b_i correspondente. Se o correspondente b_i ≠ 0 , entón o conxunto solución é un paraboloide (xa sexa elíptico ou hiperbólico); se o correspondente b_i = 0, entón a dimensión i dexenera e non entra en xogo, e o significado xeométrico estará determinado por outros valores propios e outros compoñentes de b. Cando o conxunto solución é un paraboloide, se é elíptico ou hiperbólico está determinado por se todos os demais valores propios distintos de cero son do mesmo signo: se o son, entón é elíptico; no caso contrario, é hiperbólico.

As formas cadráticas sobre o anel de enteiros chámanse formas cadráticas integrais, mentres que os módulos correspondentes son retículas cadráticas. Xogan un papel importante na teoría de números e na topoloxía.

Unha forma cadrática integral ten coeficientes enteiros, como x² + xy + y²; de forma equivalente, dada unha retícula Λ nun espazo vectorial V (sobre un corpo con característica 0, como Q ou R), unha forma cadrática Q é integral en relación a Λ se e só se ten un valor enteiro en Λ, o que significa Q(x, y) ∈ Z se x, y ∈ Λ.

Este é o uso actual do termo; no pasado ás veces utilizábase de forma diferente.

Unha forma cadrática integral cuxa imaxe consta de todos os enteiros positivos chámase ás veces universal. O teorema dos catro cadrados de Lagrange mostra que w² + x² + y² + z² é universal. Ramanujan xeneralizou este aw² + bx² + cy² + dz² e atopou 54 multiconxuntos {a, b, c, d} que poden xerar todos os números enteiros positivos, propiamente,

Tamén hai formas cuxa imaxe está formada por todos os enteiros positivos menos un. Por exemplo, {1, 2, 5, 5} ten o 15 como excepción. Recentemente, os teoremas 15 e 290 caracterizaron completamente as formas cadráticas integrais universais: se todos os coeficientes son enteiros, entón representa a todos os enteiros positivos se e só se representa todos os enteiros ata 290; se ten unha matriz de enteiros, representa todos os enteiros positivos se e só se representa todos os números enteiros ata 15.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Forma cadrática

• O'Meara, O.T. (2000). Introduction to Quadratic Forms. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66564-9. 
• Conway, John Horton; Fung, Francis Y. C. (1997). The Sensual (Quadratic) Form. Carus Mathematical Monographs. The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-030-5. 
• Shafarevich, I. R.; Remizov, A. O. (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9. 
• Cassels, J.W.S. (1978). Rational Quadratic Forms. London Mathematical Society Monographs 13. Academic Press. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029. 
• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetic of quadratic forms. Cambridge Tracts in Mathematics 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021. 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 73. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016. 
• O'Meara, O.T. (1973). Introduction to quadratic forms. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 117. Springer-Verlag. ISBN 3-540-66564-1. Zbl 0259.10018. 
• Pfister, Albrecht (1995). Quadratic Forms with Applications to Algebraic Geometry and Topology. London Mathematical Society lecture note series 217. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46755-1. Zbl 0847.11014. 

• Teorema de Hasse–Minkowski
• Cádrica
• Forma ternaria cadrática de Ramanujan

• A.V.Malyshev (2001) [1994]. "Quadratic form". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 
• A.V.Malyshev (2001) [1994]. "Binary quadratic form". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.