Proba matemática

Unha proba ou demostración matemática é un razoamento convincente dentro dos estándares vixentes conducente a que algunha proposición é necesariamente certa. Realízase cunha lóxica válida que progresa a partir de ideas que se dan por certas, chamadas hipóteses, ata a afirmación formulada, chamada tese, da que se quere obter a veracidade^[1]. Estes pasos deben estar fundamentados na aplicación de regras de dedución, fundadas xa sexa en enuciados xeralmente aceptados coñecidos como axiomas, ou en teoremas anteriormente demostrados, ou en regras básicas de dedución do sistema en cuestión^[2][3].

As probas obtéñense mediante o razoamento dedutivo máis que por argumentos indutivos ou empíricos. Ou sexa, unha proba debe demostrar que unha proposición é certa en tódolos casos, sen excepción (ocasionalmente enumerando todos os casos posíbeis e mostrando que se sostén en todos eles), máis ca enumerando moitos casos confirmatorios. Unha proposición non demostrada que se considera certa coñécese como conxectura.

Unha proposición probada adoita denominarse teorema. Unha vez que se proba unha proposición, pódese empregar coma base para probar outras proposicións. A un teorema pódeselle chamar tamén lema, especialmente se se pretende usar como paso na proba doutro teorema.

As probas empregan a lóxica mais adoitan incluír unha parte de linguaxe natural que polo xeral admite certa ambigüidade. De feito, a maior parte das probas das matemáticas escritas pódense considerar aplicacións da lóxica informal rigorosa. As probas formais, escritas en linguaxe simbólica e non en natural, trátanse na teoría da proba.

A distinción entre proba formal e proba informal liderou moita da investigación das matemáticas actuais e históricas, o cuasi-empirismo nas matemáticas e o presunto folclore matemático (en ámbolos dous sentidos do termo). A filosofía das matemáticas trata sobre o rol da linguaxe e a lóxica nas probas, e sobre as matemáticas en calidade de linguaxe.

A palabra "proba" provén do latín probare co significado de "verificar"^[4]. O termo equivalente "demostración" deriva tamén do latín "demonstrationem" (nominativo "demonstratio"), nome de acción cuxa raíz e o participio pasado de "demonstrare" que significa sinalar, indicar^[5].

Argumentos que usaban dispositivos heurísticos como debuxos e analoxías poden considerarse como precedentes das demostracións matemáticas estritas^[6]. É probábel que a idea de demostrar unha conclusión xurdira primeiramente en conexión coa xeometría, cuxo significado orixinal foi o de "medida da terra". O desenvolvemento da proba matemática foi primeiramente un produto dos matemáticos gregos antigos, e un dos seus máis grandes logros. Tales (624-546 a.C.) demostrou algúns teoremas de xeometría. Eudoxo (408-355 a.C.) e Teeteto (417-369 a.C.) formularon teoremas aínda que non os probaron. Aristóteles (384-322 a.C.) deu definicións que describían o concepto a partir doutros conceptos xa coñecidos. As demostracións matemáticas foron revolucionadas por Euclides, quen introduciu o método axiomático que ségue usándose hoxe en día, partindo de termos indefinidos e axiomas (proposicións referentes aos termos indefinidos que se admiten como verdades auto-evidentes; do grego "axios" que significa algo meritorio), proba teoremas usando a lóxica dedutiva. O seu libro, Os Elementos foi lido no mundo occidental por toda persoa considerada educada ata mediados do século XX^[7]. Ademais dos máis familiares teoremas de xeometría, como o teorema de Pitágoras, os Elementos inclúen demostracións de que a raíz cadrada de dous é irracional e de que hai infinitos números primos.

Posteriores avances tiveron lugar nas matemáticas islámicas do medievo. Mentres que as primeiras demostracións gregas baseábanse en longas probas xeométricas, o desenvolvemento da aritmética e da álxebra polos matemáticos islámicos permitiu demostracións máis xerais que non dependían da xeometría. No século X, o matemático do que hoxe é Iraq, Al-Hashimi deu demostracións xerais (máis ca xeométricas) para números, considerando a multiplicación, a división etc. como "liñas". Este método usouno para probar a existencia de números irracionais^[8]. Unha demostración indutiva para progresións aritméticas foi introducida no ano 1000 por Al-Karaji na súa obra Al-Fakhri, na que demostra a fórmula xeral da potencia dun binomio ${\displaystyle (a+b)^{n}}$, chamada ás veces teorema do binomio, e propiedades do triángulo de Pascal ou de Tartaglia. O método de demostración da redución ao absurdo foi desenvolvido por Alhazen, usándoo nunha primeira tentativa de probar o quinto postulado de Euclides^[9].

A moderna teoría da proba trata as demostracións como estruturas de datos definidas indutivamente. Non hai unha asunción explícita de que os axiomas son "verdadeiros" dalgún xeito; isto permite construír teorías matemáticas paralelas con conxuntos de axiomas contraditorios entre si. Exemplos disto son a teoría axiomática de conxuntos e as xeometrías non euclidianas.

Na práctica, unha demostración exprésase nunha linguaxe natural e é un argumento rigoroso destinado a convencer a unha audiencia da verdade dunha enunciado. O estándar de rigor non é absoluto e variou ao longo de historia. Unha demostración pode ser presentada de xeitos diferentes dependendo da audiencia prevista. Para gañar aceptación, unha proba ten que cumprir estándares de rigor xeralmente aceptados; un argumento considerado impreciso ou incompleto pode ser rexeitado.

O concepto de demostración formalízase no campo da lóxica matemática. Unha demostración formal escríbese nunha linguaxe formal en lugar dunha linguaxe natural. Unha proba formal defínese como unha secuencia de fórmulas nunha linguaxe formal na que cada fórmula é unha consecuencia lóxica das precedentes. Ter unha definición de demostración formal fai que o concepto de demostración sexa susceptíbel de estudo. De feito, a rama da teoría da proba estuda as demostracións formais e as súas propiedades, por exemplo, a propiedade de que un enunciado ten unha demostración formal. Unha aplicación da teoría da proba é mostrar que certos enunciados indecidíbeis non se poden demostrar.

A definición de demostración formal tende a captar o concepto das demostracións tal como se escriben na práctica das matemáticas. A solvencia desta definición equivale á crenza en que unha demostración publicada pode, en principio, converterse nunha demostración formal. Porén, fóra do campo dos asistentes de demostracións automatizadas, é raro que se faga isto na práctica. Unha cuestión clásica en filosofía é a de se as demostracións matemáticas son analíticas ou sintéticas. Kant, quen introduciu a distinción analítica-sintética, cría que as demostracións matemáticas son sintéticas.

As demostracións poden considerarse como obxectos estéticos, admirados pola súa beleza matemática. O matemático húngaro Paul Erdős foi coñecido por describir aquelas demostracións que el achaba particularmente elegantes, como que proviñan do "Libro", un hipotético volume que contiña os métodos de demostración máis fermosos de cada teorema. O libro "Demostracións desde O LIBRO", publicado en 2003, presenta 32 demostracións que os seus editores acharon especialmente agradábeis.

Na proba directa, a conclusión establécese mediante a combinación lóxica de axiomas, definicións e teoremas previos^[2]. Por exemplo, a demostración directa pode usarse para probar que a suma de dous números pares é outro número par:

Consideremos dous enteiros pares x e y. Por ser pares, poden escribirse como x = 2a e y = 2b, respectivamente, para enteiros a e b. Entón a suma x + y = 2a + 2b = 2(a+b). Polo tanto x+y ten a 2 como factor e, por definición, é par. En conclusión a suma de dous enteiros pares é par.

Esta proba usa a definición de enteiros pares, as propiedades de seren a suma e a multiplicación operacións internas no conxunto dos números enteiros, e a distributiva do produto respecto da suma.

A indución matemática non é unha forma de razoamento indutivo. Nas probas por indución matemática, demóstranse un "caso básico" simple, e unha "regra de indución", que establece que un certo caso implica o seguinte caso. Aplicando a regra de indución repetidamente, comezando polo caso básico demostrado independentemente, demóstranse moitos, frecuentemente infinitamente moitos, outros casos^[2]. Xa que o caso básico é verdadeiro, a infinitude dos outros casos teñen que ser tamén verdadeiros, mesmo se todos eles non poden ser probados directamente debido a ser un número infinito. Un subconxunto de indución é un descenso infinito. O descenso infinito pode usarse para probar a irracionalidade da raíz cadrada de dous.

Unha aplicación habitual da demostración por indución matemática é probar que unha propiedade que se verifica para un número, é certa para todos os números naturais^[10]: Sexa ${\displaystyle N=\{1,2,3,4...\}}$ o conxunto dos números naturais, e sexa ${\displaystyle P(n)}$ un enunciado matemático concerniente ao número natural n tal que:

(i) ${\displaystyle P(1)}$ é certo, isto é, ${\displaystyle P(n)}$ é certo para ${\displaystyle n=1}$.

(ii) ${\displaystyle P(n+1)}$ é certo se ${\displaystyle P(n)}$ é certo, é dicir, a veracidade de ${\displaystyle P(n)}$ implica a veracidade de ${\displaystyle P(n+1)}$.

• Entón ${\displaystyle P(n)}$ é certo para todos os números naturais ${\displaystyle n\in N}$.

Por exemplo, podemos probar por indución que todos os enteiros da forma 2n + 1 son impares:

(i) Para n = 1,  2n + 1 = 2(1) + 1 = 3, e 3 é impar. Polo tanto ${\displaystyle P(1)}$ é certo.

(ii) Sexa  2n + 1 para algún n, entón 2(n+1) + 1 = (2n+1) + 2. Se 2n + 1}} é impar, entón (2n+1) + 2 será tamén impar, pois engadindo 2 a un número impar resulta outro número impar. Polo tanto ${\displaystyle P(n+1)}$ é certo se ${\displaystyle P(n)}$ é certo.

Entón 2n + 1 é impar, para todo número natural n.

É habitual usar a frase "demostración por indución" no canto de "demostración por indución matemática^[11]

A proba por contraposición infire a conclusión "se p entón q" da premisa "se non q entón non p". O enunciado "se non q entón non p" chámase o contrapositivo do enunciado "se p entón q". Por exemplo, a contraposición pode usarse para establecer que, dado un enteiro x, se x² é par, entón x é par:

Supoñamos que x non é par. Entón x é impar. O produto de dous números impares é impar, polo tanto x² = x·x é impar. En conclusión x² non é par.

Na demostración por redución ao absurdo, ou reductio ad absurdum, próbase que unha proposición matemática é certa supoñendo que non o é e chegando a unha contradición, co cal a proposición ten que ser verdadeira. Un famoso exemplo de demostración por redución ao absurdo é a proba de que a raíz cadrada de dous é irracional:

Supóñase que ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ é un número racional, entón por definición ${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$ onde a e b son enteiros non nulos primos entre si. Despexando a: ${\displaystyle b{\sqrt {2}}=a}$, e elevando ao cadrado ambos membros: 2b² = a². É dicir, 2 divide ao primeiro membro da igualdade e, xa que logo, 2 debe dividir tamén ao segundo membro (pois ambos membros son enteiros iguais). Polo tanto a² é par, o cal implica que a debe ser tamén par. Logo podemos escribir a = 2c, onde c é tamén un enteiro. Substituíndo na igualdade inicial obtemos que: 2b² = (2c)² = 4c². Dividindo ambos membros por 2: b² = 2c². Repedindo o razoamento anterior para esta última igualdade, resulta que 2 divide a b², co cal b debe ser par. Porén, se a e b son ambos pares, teñen a 2 como factor común e non serían primos entre si, o cal está en contradición coa hipótese de que eran primos entre si. Isto lévanos a concluír que ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ é un número irracional.

Unha demostración construtiva, tamén chamada proba por exemplo, é unha demostración da existencia de obxectos matemáticos cunha certa propiedade, a través da súa construción dun exemplo concreto con esa propiedade. Joseph Liouville, por exemplo, probou a existencia de números transcendentais construíndo un exemplo explícito de tales números. A demostración construtiva úsase tamén para probar a falsidade dunha proposición mediante a construción dun contraexemplo que non verifica tal propiedade.

Na demostración por casos, ou demostración exhaustiva, a conclusión establécese dividindo o estudo nun número finito de casos e probándoa separadamente para cada un. O número de casos, ás veces, pode chegar a ser moi grande. Por exemplo, a primeira proba do teorema das catro cores incluía 1.936 casos. Esta demostración foi moi controvertida pois a maioría dos casos foron comprobados cun programa informático. A demostración máis curta deste teorema é de 2011 e aínda ten arredor de 600 casos.

A demostración probabilística é aquela na que se mostra a existencia dun exemplo, con certeza, usando métodos da teoría de probabilidades. Non se debe confundir co argumento de que un teorema é probabelmente certo. Este último tipo de razoamento pode ser chamado argumento plausíbel mais non é unha demostración; no caso da conxectura de Collatz está claro o lonxe que está dunha auténtica demostración^[12]. A demostración probabilística, como a proba por construción, é unha das moitas maneiras que hai para mostrar teoremas de existencia.

Unha demostración combinatoria establece a equivalencia de expresións a priori diferentes establecendo unha identidade entre elas. Frecuentemente unha bixección entre dous conxuntos úsase para mostrar que as expresións dos seus dous tamaños son iguais. Altenativamente, un argumento de dobre contaxe proporciona dúas expresións diferentes para o tamaño dun mesmo conxunto, mostrando de novo que as dúas expresións son iguais.

Unha proba non construtiva establece que un obxecto matemático cunha certa propiedade existe sen explicar como pode ser achado tal obxecto. A miúdo, toma a forma de demostración por contradición na que se proba a imposibilidade da non existencia do obxecto. Pola contra, a demostración construtiva establece que un obxecto concreto existe proporcionando un método para achalo. Un exemplo famoso de proba non construtiva é o teorema da existencia de dous números irracionais a e b tales que ${\displaystyle a^{b}}$ é un número racional:

• Sabemos que ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ é irracional, e 2 é racional. Consideremos o número ${\displaystyle q={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ que será racional ou irracional.

• Se ${\displaystyle q}$ é racional, entón o teorema é certo, con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ igual a ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

• Se ${\displaystyle q}$ é irracional, o teorema é tamén certo, con ${\displaystyle a}$ igual a ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ e ${\displaystyle b}$ igual a ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, pois

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}})}={\sqrt {2}}^{2}=2.}$

A expresión demostración estatística debe usarse técnica ou coloquialmente en áreas da matemática pura, como aquelas que teñen que ver coa criptografía, series caóticas, e teoría de números probabilística ou analítica^[13][14][15]. É menos común usar este termo para referirse ás demostracións matemáticas na rama desta coñecida como estatística matemática. Ver tamén máis adiante neste artigo #Demostración estatística usando datos

Ata o século XX asumíase que calquera proba podía, en principio, ser comprobada por un matemático competente para confirmar a súa validez^[6]. Porén, hoxe en día os ordenadores úsante tanto para probar teoremas como para realizar os cálculos que son demasiado longos para seren realizados por un equipo humano; a primeira proba do teorema das catro cores é un exemplo de demostración asistida por ordenador. Algúns matemáticos cuestionan a validez destas demostracións argumentando que existe a posibilidade de erros no programa informático ou no tempo de execución dos cálculos. Na práctica, as posibilidades de erro que invalidan unha demostración asistida por ordenador poden reducirse incorporando redundancia e autocomprobacións nos cálculos, e desenvolvendo múltiples aproximacións e programas independentes. Pero os erros nunca poden ser desbotados completamente en caso de verificación dunha demostración por humanos, especialmente se a demostración contén linguaxe natural e require unha visión matemática profunda.

Unha sentenza dunha teoría matemática dise que é indecidíbel se é imposíbel demostrar tanto a súa certeza como a súa falsidade coas ferramentas da propia teoría. Un exemplo clásico é o quinto postulado de Euclides, do cal non se pode demostrar que sexa certo ou que sexa falso cos axiomas da xeometría euclidiana.

Moitas sentenzas son indecidíbeis na teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), asumindo que ZF é consistente. Así, son indecidíbeis o axioma da escolla, a hipótese do continuo e a hipótese do continuo xeneralizada.

O primeiro teorema de incompletitude de Gödel demostra que moitos sistemas axiomáticos de interese matemática teñen sentenzas indecidíbeis.

Mentres que os primeiros matemáticos como Eudoxo non facían uso das demostracións, estas foron unha parte esencial das matemáticas desde Euclides ata a matemática fundacional desenvolvida a finais do século XIX e no século XX^[16].Co incremento do poder computacional na década de 1960, comezáronse a facer traballos significativos na investigación de obxectos matemáticos fóra da estrutura da teoría de probas, nas matemáticas experimentais. Os pioneiros destes métodos tentaron encaixalos dentro da teoría clásica de probas, como ocorreu, por exemplo, co desenvolvemento temperá da xeometría fractal^[17], que foi ultimamente incorporada á teoría clásica.

Se ben non é unha proba formal, unha demostración visual dalgún teorema matemático é chamado, ás veces, unha "proba sen palabras". Nas imaxes seguintes aprécianse tres demostracións visuais do Teorema de Pitágoras; a da esquerda é un exemplo histórico e as outras dúas son probas visuais animadas:

• 
  Demostración visual do teorema de Pitágoras para o triángulo de lados 3, 4 e 5 tal como aparece no texto chinés Chou Pei Suan Ching, 500–200 a.C.
• 
  Demostración visual animada do teorema de Pitágoras por reagrupamento.
• 
  Unha segunda demostración visual animada do teorema de Pitágoras.

Unha demostración elemental é unha proba que só usa técnicas matemáticas básicas. Máis concretamente, o termo úsase en teoría de números para referirse a demostracións que non fan uso da análise complexa. Durante un tempo pensouse que certos teoremas, como o teorema dos números primos, só podían probarse usando matemáticas superiores. Porén, co paso do tempo, moitos destes resultados foron redemostrados usando só técnicas elementais.

A demostración a dúas columnas é unha particular forma de organizar unha demostración usando dúas columnas. En cada liña, a columna da esquerda contén unha proposición, mentres que a columna da dereita contén unha breve explicación de como a proposición correspondente na columna da esquerda é ou un axioma, ou unha hipótese, ou pode se loxicamente deducida de proposicións previas. A columna da esquerda encabézase como "Statements" (enunciados) e a da dereita como "Reasons" (razóns)^[18]. A demostración a dúas columnas úsase frecuentemente nas clases elementais de xeometría nos Estados Unidos^[19].

A expresión "demostración matemática" úsaa a xente corrente para referirse ao uso de métodos ou argumentos con obxectos matemáticos, tales como números, coa fin de demostrar algo sobre a vida cotiá, ou cando os datos usados nun argumento son numéricos. Ás veces tamén se usa para referirse a unha demostración estatística, especialmente cando se argumenta con datos numéricos.

A demostración estatística en datos numéricos refírese á aplicación deste tipo de demostración nos campos da estatística, a análise de datos ou a análise Bayesiana para inferir proposicións relacionadas coa probabilidade dos datos numéricos. Mentres que a demostración matemática se usa para establecer teoremas en estatística, o seu uso non é habitual cando se trata de verificar suposicións cuxos enunciados probabilísticos derivan de evidencias empíricas alleas ás matemáticas. En física, ademais de aos métodos estatísticos, o termo "demostración matemática" pode referirse aos especializados métodos matemáticos da física aplicados na análise de datos nos experimentos de física de partículas ou no estudo observacional en cosmoloxía. A "demostración estatística" pode tamén referirse aos datos en bruto ou a diagramas relativos a datos, como os diagramas de dispersión, cando os datos ou o diagrama son razoabelmente convincentes sen necesidade de análises posteriores.

As demostracións que usan a lóxica indutiva, cando se consideran de natureza matemática, buscan establecer proposiciones cun grao de certeza, que actúen do modo semellante á probabilidade, e que poden ser menos dunha certeza. A análise Bayesiana establece asertos como o do grao de crenza subxectiva dunha persoa. A lóxica indutiva non debe confundirse coa indución matemática.

O psicoloxismo contempla as demostracións matemáticas como obxectos mentais ou psicolóxicos. Filósofos matemáticos como Leibniz, Frege, e Carnap, tentaron desenvolver unha semántica para o que eles consideraban a linguaxe do pensamento, pola cal os estándares da demostración matemática deberían aplicarse á ciencia empírica.

Filósofo-matemáticos como Spinoza trataron de formular argumentos filosóficos dun xeito axiomático, polo cal os estándares da demostración matemática poderían aplicarse á argumentación na filosofía xeral. Outros matemático-filósofos tentaron usar estándares da demostración matemática e a razón, sen empirismo, para chegar a enunciados alleos ás matemáticas, mais coa certeza das proposicións deducidas nunha demostración matemática, tal e como fixo Descartes no seu argumento cogito ergo sum.

"q.e.d." escríbese ás veces ao remate dunha demostración para indicar a súa fin. É a abreviatura da expresión latina "Quod Erat Demonstrandum". Tamén se usa o equivalente galego "c.q.d." ("Como Queriamos Demostrar"). Outra alternativa é usar un cadrado ou un rectángulo, como □ ou ∎, este último chamado ás veces "halmos" por ter sido o matemático Paul Halmos o primeiro en facer uso del. As abreviaturas anteriores tamén se escriben con maiúsculas e tamén sen puntos.

• Pólya, G. (1954). Princeton University Press, ed. Mathematics and Plausible Reasoning (en inglés). 
• Franklin, J.; Daoud, A. (2011). Kew Books, ed. Proof in Mathematics: An Introduction (en inglés). ISBN 0-646-54509-4. 
• Solow, D. (2004). Wiley Publishing, ed. How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes (en inglés). ISBN 0-471-68058-3. 
• Velleman, D. (2006). Cambridge University Press, ed. How to Prove It: A Structured Approach (en inglés). ISBN 0-521-67599-5. 
• Hammack, Richard (2013). Open Textbook Initiative, ed. Book of Proof (second edition) (en inglés). ISBN 978-0-9894721-0-4. Consultado o 10 de xullo de 2013. 
• Fallis, Don (2002). "What Do Mathematicians Want? Probabilistic Proofs and the Epistemic Goals of Mathematicians". Logique et Analyse (en inglés) 45: 373–388. 

• A.G. Dragalin (originator). Springer, ed. "Proof theory". Encyclopedia of Mathematics (en inglés). Consultado o 9 de xullo de 2013. 
• www.math.uconn.edu (ed.). "What are mathematical proofs and why they are important?" (PDF) (en inglés). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 07 de setembro de 2012. Consultado o 9 de xullo de 2013. 
• Larry W. Cusick. http://zimmer.csufresno.edu, ed. "How To Write Proofs" (en inglés). Consultado o 9 de xullo de 2013. 
• Leslie Lamport (1993). Digital Equipment Corporation, ed. "How to Write a Proof" (PDF) (en inglés). Consultado o 9 de xullo de 2013. 
• A. Bogomolny (1996). "Proofs in Mathematics from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles". cut-the-knot.org (en inglés). Consultado o 10 de xullo de 2013. 
• A. Bogomolny (1996). "What is Proof?". cut-the-knot.org (en inglés). Consultado o 10 de xullo de 2013. 
• Freek Wiedijk, editor, foreword by Dana S. Scott (2006). Springer, ed. "The Seventeen Provers of the World" (PDF). Lecture Notes in Computer Science 3600 (en inglés). ISBN 3-540-30704-4. Consultado o 10 de xullo de 2013. 
• "ProofWiki.org" (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 31 de xullo de 2012. Consultado o 10 de xullo de 2013. Páxina wiki de demostracións matemáticas 
• "planetmath.org" (en inglés). Consultado o 10 de xullo de 2013. Unha enciclopedia de matemáticas de estilo wiki 
• "Discrete Mathematics for Computer Science/Proof" (en inglés). Consultado o 10 de xullo de 2013. Lección sobre demostracións en en:wikiversity 
• Michael de Villiers. "The role and function of proof with Sketchpad" (PDF) (en inglés). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 27 de febreiro de 2012. Consultado o 10 de xullo de 2013. 
• Michael de Villiers (2002). "Developing understanding for different roles of proof in Dynamic Geometry" (PDF) (en inglés). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 27 de febreiro de 2012. Consultado o 10 de xullo de 2013.