עם חזרתו לפריז בשנת 1813, שכנעו אותו לגראנז' ולפלס לנטוש את ההנדסה ולהקדיש את עצמו ללימודי המתמטיקה. הוא הצטרף שוב ל"פוליטכני" (מוסד להשכלה גבוהה), שאותו עזב ב־1830 בעקבות הכתרתו של לואי פיליפ. אחרי תקופה קצרה בפריבורג שבשווייץ נוצרה עבור קושי ב־1831קתדרה לפיזיקה מתמטית באוניברסיטת טורינו שבאיטליה.
ב־1833 הזמין המלך הצרפתי לשעבר, שארל העשירי, את קושי להיות מורה פרטי לנכדו, הדוכס מבורדו, דבר שנתן לקושי הזדמנות לטייל ולקבל משוב חיובי על עבודותיו המתמטיות. ב־1838 חזר קושי לפריז, אך סירב לקבל פרופסורה בקולז' דה פראנס, בגלל נוסח השבועה שהיה תנאי לתפקיד.
קושי התנגד להפרדת דת ומדינה במערכת החינוך הצרפתית. הוא סייע לכנסייה הקתולית להקים להקים ענף חינוך עצמאי, לאחר שאיבדה את השליטה במערכת החינוך הציבורית. הוא סייע בהכשרת מורים לאקול נורמל אקלזיאסטיק (צר'), בית ספר בפריז המנוהל על ידי ישועים, ולקח חלק בהקמת המכון הקתולי בפריז (אנ'). פעילויות אלו לא הפכו את קושי לפופולרי בקרב עמיתיו, שתמכו באידיאלים של הנאורות של המהפכה הצרפתית. כאשר התפנתה קתדרה למתמטיקה בקולז' דה פראנס ב-1843, קושי הגיש בקשה, אך קיבל רק 3 קולות מתוך 45.
ב־1848, אחרי שהשבועה הושעתה במוסדות ההשכלה הגבוהה של צרפת, הסכים קושי לקבל משרת הוראה באקול פוליטקניק ואחרי שהוחזרה השבועה ב־1851 קיבל קושי פטור ממנה.
לקושי היו שני אחים, אלכסנדר לורן קושי (1792-1857), נשיא בית המשפט לערעורים ואחר כך שופט, והאח השני, אז'ן פרנסואה קושי (1802–1877), פובליציסט ומתמטיקאי זוטר.
קושי כמתמטיקאי
עבודתו של קושי Leçons sur le calcul différentiel, 1829
קושי היה מתמטיקאי עמוק ויסודי, שנקט בשיטות עבודה והוכחה מדוקדקות וקפדניות (ריגורוזיות). התרבות המתמטית של קושי השפיעה רבות על תלמידיו ועל ממשיכיו ומהווה יסוד חשוב בתרבות המתמטית של ימינו.
מלבד הנחלת תרבות ההוכחה הריגורוזית תרם קושי רבות בתחומים רבים של המתמטיקה והפיזיקה המתמטית.
הגאונות של קושי התגלתה לראשונה בפתרון הפשוט שנתן לבעיית אפולוניוס (לתאר מעגל הנוגע בשלושה מעגלים נתונים) ב־1805 ובהכללה שנתן ב־1811 לנוסחת אוילר לגבי פאונים (פוליהדרה), ובעוד מספר בעיות אלגנטיות. ב־1813 קושי הוכיח את משפט המספרים המצולעים.
עבור המזכר שנתן על התקדמותם של גלים, קיבל פרס מטעם המכון ב־1816.
התרומה הגדולה ביותר של קושי למתמטיקה היו שיטות העבודה הריגורוזיות שפיתח, שבהן השתמש בעבודותיו הגדולות:
"Cours d'analyse de l'École Polytechnique" (קורס באנליזה של אקול פוליטקניק), 1821
קושי הכניס את מושג המאמץ לתורת האלסטיות. במקום התיאור של נאוויה, שהתייחס לכוחות בין המולקולות, השתמש קושי במושג הלחץ במישור אותו הוא הכיר מההידרודינמיקה. הלחץ אינו בהכרח ניצב למישור, ולכן הכניס קושי לשימוש טנזור מאמצים סימטרי (עם 6 רכיבים בלתי-תלויים), וניסח בעזרתם משוואות דיפרנציאליות חלקיות לשיווי המשקל. הוא גם הציג פתרון למשוואות בגופים איזוטרופיים, המשתמש בשני קבועים של החומר, שערכם משתנה מחומר לחומר, ונקבע באופן ניסיוני. משיקולים אלו ושיקולים דומים אחרים, הוא הגיע למסקנה שהחתך של מוט העומד במאמץ פיתול לא נשאר מישורי אלא מתעוות.
לקריאה נוספת
Stephen P. Timoshenko, History of Strength of Materials with a brife account of the history of theory of elasticity and theory of structures Dover Publications INC, N.Y. pp 107–111
