משפט הערך הממוצע של קושי

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' עבור זוג פונקציות. למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל.

תהיינה ${\displaystyle \ f}$ ו-${\displaystyle \ g}$ פונקציות רציפות בקטע ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ וגזירות בקטע ${\displaystyle \left(a,b\right)}$. נניח שהנגזרת של ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ לכל ${\displaystyle x\in \left(a,b\right)}$. אזי קיימת נקודה ${\displaystyle c\in (a,b)}$ כך שמתקיים ${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}$.

הערה: מכך שהנגזרת אינה מתאפסת בקטע ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ ומקונטרה פוזיטיב למשפט רול מתקבל ${\displaystyle g(b)\neq g(a)}$ ולכן אין חלוקה באפס.

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא מקרה פרטי של משפט הערך הממוצע של קושי, עבור ${\displaystyle \ g(t)=t}$.

ראשית נשים לב כי אם ${\displaystyle \ g(b)=g(a)}$ אז על פי משפט רול קיימת נקודה ${\displaystyle \ x\in (a,b)}$ כך ש-${\displaystyle \ g'(x)=0}$, וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח ${\displaystyle \ g(b)\neq g(a)}$.

כעת נגדיר פונקציה חדשה: $${\displaystyle \ F(x)=(f(x)-f(a))-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))}$$פונקציה זו נבנית מהפונקציות ${\displaystyle \ f,g}$ באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו ${\displaystyle \ f,g}$, היא רציפה בקטע ${\displaystyle \ [a,b]}$ וגזירה בקטע ${\displaystyle \ (a,b)}$.

אם נציב, נקבל את השוויון ${\displaystyle \ F(a)=F(b)=0}$. לכן F מקיימת את תנאי משפט רול, ומכאן שקיימת נקודה ${\displaystyle \ c\in (a,b)}$ כך ש-${\displaystyle \ F'(c)=0}$.

אבל ${\displaystyle \ F'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(x)}$. ולכן: ${\displaystyle \ f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c)}$.

על פי הנתון, ${\displaystyle \ g'(c)\neq 0}$ ולכן ניתן לחלק, ולקבל ${\displaystyle \ {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}$, כמבוקש.

• משפט הערך הממוצע של קושי, באתר MathWorld (באנגלית)