משפט שטולץ

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ, שנקרא גם משפט שטולץ-צ'זארו, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט, הגבולות ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ ו-${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}}$ שווים זה לזה תחת תנאים מסוימים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (אנ') (1842–1905) וארנסטו צזארו (אנ') (1859–1906).

תהא ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרה כלשהי, ותהא ${\displaystyle \left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף.

אם הסדרה ${\displaystyle \textstyle \left\{{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול ${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\textstyle {\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}}$, אז גם הסדרה ${\displaystyle \textstyle \left\{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ מתכנסת לאותו הגבול.

נוכיח את המקרה בו ${\displaystyle \,L}$ סופי.

יהי ${\displaystyle \varepsilon >0}$ כלשהו. לפי הגדרת הגבול, קיים ${\displaystyle N\,}$ טבעי, כך שלכל ${\displaystyle n>N\,}$ מתקיים

${\displaystyle L-\textstyle {\varepsilon \over 2}<{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}<L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}$

.

כיוון שהסדרה ${\displaystyle \left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ מונוטונית עולה ממש, ${\displaystyle y_{n+1}>y_{n}\,}$, כלומר ${\displaystyle y_{n+1}-y_{n}>0\,}$ וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל:

$${\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{n+1}-y_{n}}\right)<x_{n+1}-x_{n}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{n+1}-y_{n}}\right)}$$

יהא ${\displaystyle k>N\,}$ טבעי כלשהו כך ש- ${\displaystyle y_{k}>0\,}$ (בהכרח קיים ${\displaystyle k\,}$ כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל ${\displaystyle N+1\leq n\leq k}$ נקבל את האי שוויון הבא:

$${\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({y_{i+1}-y_{i}}\right)}<\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({x_{i+1}-x_{i}}\right)}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({y_{i+1}-y_{i}}\right)}}$$ $${\displaystyle \Updownarrow }$$ $${\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{k+1}-y_{N+1}}\right)<x_{k+1}-x_{N+1}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{k+1}-y_{N+1}}\right)}$$

נחלק את אי השוויון ב- ${\displaystyle y_{k+1}>0\,}$ ונקבל

$${\displaystyle \Updownarrow }$$

ברור כי ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)=L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}$. לכן קיים ${\displaystyle M\,}$ טבעי כך שלכל ${\displaystyle k>M\,}$ מתקיים ${\displaystyle \left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<L+\varepsilon }$. כן ברור כי ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)=L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}$ לכן קיים ${\displaystyle A\,}$ טבעי כך שלכל ${\displaystyle k>A\,}$ מתקיים ${\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}>L-\varepsilon }$. לפיכך, אם נבחר ${\displaystyle Q=\max\{A,M,N\}\,}$, נקבל שלכל ${\displaystyle k>Q\,}$ יתקיים:

ולפיכך, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L}$.

• נחשב את הגבול ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ כאשר ${\displaystyle a_{n}={\frac {2+{({3 \over 2})}^{2}+{({4 \over 3})}^{3}+...+{({n+1 \over n})}^{n}}{n}}}$.

נסמן ${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}\textstyle {\left({k+1 \over k}\right)}^{k}}$, ו־${\displaystyle y_{n}=n\,}$. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: ${\displaystyle y_{n}\,}$ עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\textstyle {\frac {\sum _{k=1}^{n+1}{\left({k+1 \over k}\right)}^{k}-\sum _{k=1}^{n}{\left({k+1 \over k}\right)}^{k}}{n+1-n}}}=\lim _{n\to \infty }{\textstyle \left({\frac {n+2}{n+1}}\right)^{n+1}}=\lim _{n\to \infty }{\textstyle \left(1+{1 \over n+1}\right)^{n+1}}=e}$

ולכן, לפי המשפט, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{x_{n} \over y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=e}$.

• נחשב את הגבול ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+e\cdot a_{2}+e^{2}\cdot a_{3}+...+e^{n-1}\cdot a_{n}}{e^{n}}}}$ כאשר ${\displaystyle a_{n}\rightarrow e}$.

נסמן ${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}e^{k-1}a_{k}}$, ו־${\displaystyle y_{n}=e^{n}\,}$. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: ${\displaystyle y_{n}\,}$ עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\textstyle {\frac {\sum _{k=1}^{n+1}e^{k-1}a_{k}-\sum _{k=1}^{n}e^{k-1}a_{k}}{e^{n+1}-e^{n}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{n}(a_{n+1})}{e^{n}(e-1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{e-1}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{e-1}}={\frac {e}{e-1}}}$

השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.

ולכן, לפי המשפט, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+e\cdot a_{2}+e^{2}\cdot a_{3}+...+e^{n-1}\cdot a_{n}}{e^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{x_{n} \over y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}={\frac {e}{e-1}}}$.

• הוכחת כלל לופיטל.
• בהינתן ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרה מתכנסת:
  • הממוצעים המשוקללים של ${\displaystyle a_{n}}$ מתכנסים לאותו גבול כמו ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ (זאת בתנאי שסדרת המשקולות ${\displaystyle \left\{\alpha _{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ מקיימת ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\to \infty }$).
  • הממוצע החשבוני של ${\displaystyle a_{n}}$ מתכנס לאותו גבול כמו ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
  • הממוצע ההרמוני של ${\displaystyle a_{n}}$ מתכנס לאותו גבול כמו ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$.
    • משתי הטענות האחרונות, מאי שוויון הממוצעים ומכלל הסנדוויץ' נובע כי גם הממוצע הגאומטרי של ${\displaystyle a_{n}}$ מתכנס לאותו גבול כמו ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$.