מישור מור

בטופולוגיה, מישור מוּר הוא דוגמה למרחב טופולוגי ספרבילי המקיים את תכונת האוסדורף, שאינו קומפקטי מקומית ואינו נורמלי. זוהי דוגמה פשוטה יחסית, ולכן נוח להיעזר בה כדוגמה נגדית לתופעות טופולוגיות שונות.

הטופולוגיה המאפיינת את מישור מור מוגדרת על המחצית העליונה של המישור האוקלידי הרגיל: ${\displaystyle M=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geq 0\right\}}$. המבנה הטופולוגי מוגדר באופן הבא: קבוצה פתוחה היא קבוצה המכילה, יחד עם כל נקודה שלה ${\displaystyle p=(a,b)}$, כדור מתאים:

• כדור מהצורה ${\displaystyle B_{r}(a,b)=\{(x,y):(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<r\}}$ עבור ${\displaystyle 0<r}$, אם ${\displaystyle b>0}$;
• או קבוצה מהצורה ${\displaystyle \{(a,b)\}\cup \{(x,y):(x-a)^{2}+(y-r)^{2}<r\}}$ עבור ${\displaystyle 0<r}$, אם ${\displaystyle b=0}$.

למעט הישר הממשי, הטופולוגיה היא מטרית: חצי המישור הפתוח ${\displaystyle M=\left\{(x,y):y>0\right\}}$ הוא תת-מרחב מטריזבילי. לעומת זאת, בנקודה ${\displaystyle (a,0)}$ שעל הישר, אפשר להרכיב בסיס מקומי מן הקבוצות ${\displaystyle \{(a,0)\}\cup B}$, כאשר ${\displaystyle B}$ מייצג כדורים מהצורה ${\displaystyle B_{r}(a,r)}$, המשיקים לישר הממשי באותה נקודה. בטופולוגיה הרגילה, הנקודה אינה נקודת פנים של אף אחד מן הכדורים האלה.

המרחב ${\displaystyle M}$ הוא ספרבילי, אבל תת-המרחב ${\displaystyle X}$ המורכב מן הנקודות על ציר ה-x הוא בעל טופולוגיה דיסקרטית, ובפרט (מכיוון שזו קבוצה שאינה בת מנייה) אינו ספרבילי. המרחב אינו קומפקטי, ואף אינו קומפקטי מקומית.

המרחב אינו קומפקטי מקומית

די להראות שלנקודת הראשית ${\displaystyle (0,0)}$ אין סביבה קומפקטית. אם יש כזו, היא מכילה כדור מהצורה ${\displaystyle B_{r}(0,r)}$ המשיק לישר הממשי בנקודת הראשית, והסגור שלו (כתת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית) הוא קומפקטי. לכן מספיק להוכיח שהקבוצה ${\displaystyle \{(x,y):x^{2}+(y-r)^{2}\leq r\}}$ אינה קומפקטית. ואכן, קבוצה זו אפילו אינה קומפקטית סדרתית: נקבע סדרה של נקודות על שפת הכדור המתכנסת (במובן האוקלידי, הרגיל) לנקודת הראשית. סדרה כזו אינה מתכנסת לראשית במובן של מישור מור (משום שכדורים קטנים יותר המשיקים לראשית אינם מכילים אף נקודה מן הסדרה); מאותה סיבה גם תת-סדרות שלה אינן מתכנסות לראשית. אף נקודה אחרת של הכדור אינה נקודת הצטברות של הסדרה, ולכן אין לה אף תת-סדרה מתכנסת. מכאן שהכדור הסגור אינו קומפקטי.

הוא מקיים את אקסיומת המנייה הראשונה אבל לא את תכונת לינדלוף (ולכן אינו מקיים את אקסיומת המנייה השנייה). המרחב הוא מרחב האוסדורף, ואף מקיים את תכונת ההפרדה T3, אבל אינו נורמלי.

ניתן להוכיח כי מישור מור הוא מרחב בייר, זאת על אף שהוא אינו מקיים את משפט הקטגוריה של בייר.