הנקודה p נמצאת בפנים של הקבוצה V שכן הקבוצה V מכילה סביבה של p. בטופולוגיה , הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה
A
{\displaystyle A}
Int
(
A
)
{\displaystyle {\mbox{Int}}(A)}
A
∘ ∘ -->
{\displaystyle A^{\circ }}
ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:
תהא
A
{\displaystyle A}
מרחב טופולוגי . נגדיר את הפנים שלה,
Int
(
A
)
{\displaystyle {\mbox{Int}}(A)}
x
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle x\in A}
קבוצה פתוחה
B
{\displaystyle B}
x
∈ ∈ -->
B
⊆ ⊆ -->
A
{\displaystyle x\in B\subseteq A}
A
{\displaystyle A}
סביבה של
x
{\displaystyle x}
תהא
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
תהא
A
{\displaystyle A}
משלים וסגור :
Int
(
A
)
=
(
A
c
¯ ¯ -->
)
c
{\displaystyle {\mbox{Int}}(A)=({\overline {A^{c}}})^{c}}
נחשב את הפנים של הקטע הסגור
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
[
0
,
1
]
c
=
(
− − -->
∞ ∞ -->
,
0
)
∪ ∪ -->
(
1
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle [0,1]^{c}=(-\infty ,0)\cup (1,\infty )}
[
0
,
1
]
c
¯ ¯ -->
=
(
− − -->
∞ ∞ -->
,
0
]
∪ ∪ -->
[
(
1
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle {\overline {[0,1]^{c}}}=(-\infty ,0]\cup [(1,\infty )}
(
[
0
,
1
]
c
¯ ¯ -->
)
c
=
(
0
,
1
)
{\displaystyle ({\overline {[0,1]^{c}}})^{c}=(0,1)}
ולכן הפנים של
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור .
כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה:
A
=
Int
(
A
)
{\displaystyle A={\mbox{Int}}(A)}
Int
(
A
)
=
Int
(
Int
(
A
)
)
{\displaystyle {\mbox{Int}}(A)={\mbox{Int}}\left({\mbox{Int}}(A)\right)}
A
⊆ ⊆ -->
B
⇒ ⇒ -->
Int
(
A
)
⊆ ⊆ -->
Int
(
B
)
{\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow {\mbox{Int}}(A)\subseteq {\mbox{Int}}(B)}
Int
(
A
)
∪ ∪ -->
Int
(
B
)
⊆ ⊆ -->
Int
(
A
∪ ∪ -->
B
)
{\displaystyle {\mbox{Int}}(A)\cup {\mbox{Int}}(B)\subseteq {\mbox{Int}}\left(A\cup B\right)}
Int
(
A
∩ ∩ -->
B
)
=
Int
(
A
)
∩ ∩ -->
Int
(
B
)
{\displaystyle {\mbox{Int}}\left(A\cap B\right)={\mbox{Int}}(A)\cap {\mbox{Int}}(B)}
החוץ של קבוצה
A
{\displaystyle A}
Ext
(
A
)
{\displaystyle {\mbox{Ext}}(A)}
Ext
(
A
)
=
Int
(
A
c
)
{\displaystyle {\mbox{Ext}}(A)={\mbox{Int}}(A^{c})}
סגור :
Ext
(
A
)
=
(
Cl
(
A
)
)
c
{\displaystyle {\mbox{Ext}}(A)=({\mbox{Cl}}(A))^{c}}
השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle [0,1]^{c}=(-\infty ,0)\cup (1,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01bba22db7fddbbc4b7122505c1bc0d6704457ca)
![{\displaystyle {\overline {[0,1]^{c}}}=(-\infty ,0]\cup [(1,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f7ad2e50cd1536c8060a524a57c13110cf8fa0)
![{\displaystyle ({\overline {[0,1]^{c}}})^{c}=(0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7851578a7ffbb70a3685a22c86f4e46d61e0fc)
