מרחב נורמלי לחלוטין

בטופולוגיה, מרחב נורמלי לחלוטין ומרחב ${\displaystyle \ T_{5}}$ הם סוגים של מרחבים טופולוגיים המקיימים תכונות הפרדה חזקות במיוחד.

קבוצות A ו- B במרחב טופולוגי הן קבוצות מופרדות, אם כל אחת מהן זרה לסגור של הקבוצה השנייה. במקרה כזה, לכל נקודה ב- A יש סביבה זרה ל- B, ולהפך. קבוצות מופרדות חייבות להיות זרות; אם שתי קבוצות סגורות הן זרות, אז הן גם מופרדות.

• מרחב טופולוגי X הוא מרחב נורמלי לחלוטין, אם אפשר להפריד בו קבוצות מופרדות באמצעות סביבות פתוחות; כלומר: לכל שתי קבוצות מופרדות A ו- B, קיימות קבוצות פתוחות וזרות U ו- V המכילות את A ואת B, בהתאמה.

• מרחב נורמלי לחלוטין שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא מרחב ${\displaystyle \ T_{5}}$.

במרחב שבו אפשר להפריד קבוצות מופרדות, בוודאי אפשר להפריד קבוצות סגורות וזרות. לכן כל מרחב נורמלי לחלוטין הוא בפרט מרחב נורמלי. מאותה סיבה, כל מרחב ${\displaystyle \ T_{5}}$ הוא מרחב T4.

התכונה החשובה ביותר של מרחבים נורמליים לחלוטין היא שלא רק הם עצמם נורמליים, אלא גם כל תת-מרחב שלהם (ביחס לטופולוגיה המושרית). במרחב נורמלי, תכונה זו שקולה לכך שהמרחב נורמלי לחלוטין. מסיבה זו מרחב נורמלי לחלוטין נקרא גם מרחב נורמלי תורשתית.

כל מרחב נורמלי באופן מושלם הוא בפרט נורמלי לחלוטין, ובאופן דומה גם כל מרחב T6 הוא מרחב ${\displaystyle \ T_{5}}$. בפרט, כל מרחב מטרי הוא מרחב ${\displaystyle \ T_{5}}$.

ההוכחה לכך שמרחב נורמלי באופן מושלם הוא נורמלי לחלוטין אינה מידית, ולכן אנחנו כוללים כאן הוכחה ישירה וקלה לכך שבמרחב מטרי אפשר להפריד בסביבות פתוחות כל שתי קבוצות מופרדות. יהי X מרחב מטרי עם המטריקה d. נתונות שתי קבוצות מופרדות A ו- B (שאינן בהכרח סגורות). נסמן ב- ${\displaystyle \ d_{A}(x)=\inf _{a\in A}d(a,x)}$ את פונקציית ה"מרחק מ-A", ובאופן דומה נגדיר את הפונקציה ${\displaystyle \ d_{B}}$. מכיוון שרק לנקודות בסגור של A יש מרחק 0 מ-A, כל נקודה של B היא בעלת מרחק חיובי מ- A, ולהפך. נסמן ב- ${\displaystyle \ U_{A}}$ את איחוד הכדורים ברדיוס ${\displaystyle \ d_{B}(a)/2}$ סביב a, לכל הנקודות ${\displaystyle \ a\in A}$; זו כמובן קבוצה פתוחה המכילה את A. באופן דומה נבנה את ${\displaystyle \ U_{B}}$. כדי להיווכח ש- ${\displaystyle \ U_{A}}$ ו- ${\displaystyle \ U_{B}}$ זרות, די לבדוק שהדבר נכון לכל זוג של כדורים המרכיבים קבוצות אלה. אבל לכל ${\displaystyle \ a\in A,\,b\in B}$ מתקיים ${\displaystyle \ d_{A}(b),d_{B}(a)\leq d(a,b)}$, ולכן ${\displaystyle \ {\frac {1}{2}}d_{A}(b)+{\frac {1}{2}}d_{B}(a)\leq d(a,b)}$.

יש לציין שכאשר מדובר בקבוצות מופרדות, הפרדה באמצעות סביבות פתוחות היא ההפרדה החזקה ביותר שלה אפשר לצפות. בערך על אקסיומות ההפרדה אנו מונים ארבע רמות הפרדה, שההפרדה בקבוצות פתוחות היא הנמוכה בהן. ברמה הבאה דורשים הפרדה באמצעות סביבות סגורות, אלא שזה בלתי אפשרי אפילו במרחבים מטריים. לדוגמה, הקטעים ${\displaystyle \ (0,1)}$ ו- ${\displaystyle \ (1,2)}$ הם קבוצות מופרדות, שלא ניתן להפריד בסביבות סגורות (ובוודאי לא בפונקציה רציפה).

• אקסיומות ההפרדה
• מרחב נורמלי באופן מושלם
• מרחב נורמלי