מרחב רגולרי לחלוטין

בטופולוגיה, מרחב רגולרי לחלוטין ומרחב טיכונוף הם מרחבים טופולוגיים המקיימים תכונות הפרדה מסוימות. מרחב רגולרי לחלוטין הוא מרחב שבו אפשר להפריד בין קבוצה סגורה לנקודה באמצעות פונקציה רציפה. מרחב רגולרי לחלוטין שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא מרחב טיכונוף, או מרחב ${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$.

מרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$ הוא רגולרי לחלוטין, אם לכל קבוצה סגורה ${\displaystyle F}$ ונקודה ${\displaystyle x}$ שאיננה ב-${\displaystyle F}$, קיימת פונקציה רציפה ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$, כך ש-${\displaystyle f(F)=\{0\}}$ ו-${\displaystyle f(x)=1}$. הפרדה כזו נקראת 'הפרדה באמצעות פונקציה רציפה'. במקרה כזה ברור שאפשר להפריד בין ${\displaystyle F}$ ו-${\displaystyle x}$ גם באמצעות קבוצות פתוחות, ולכן מרחב רגולרי לחלוטין הוא בפרט מרחב רגולרי. מאותה סיבה, כל מרחב ${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$ הוא בפרט מרחב T3. בנוסף לזה, מרחב ${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$ הוא גם מרחב האוסדורף לחלוטין, שבו אפשר להפריד נקודות באמצעות פונקציות רציפות, ולכן גם מרחב האוסדורף. מרחב טופולוגי הוא רגולרי לחלוטין אם ורק אם קיימת לו קומפקטיפיקציה מקסימלית.

כל חבורה טופולוגית היא רגולרית לחלוטין. חבורה טופולוגית המקיימת את תכונת ההפרדה T0 מקיימת את תכונת טיכונוף.

• אקסיומות ההפרדה

• מרחב רגולרי לחלוטין, באתר MathWorld (באנגלית)