קבוצה צפופה

ערך זה עוסק בקבוצה צפופה במובן הטופולוגי. אם התכוונתם לצפיפות של קבוצות סדורות, ראו קבוצה סדורה צפופה.

בטופולוגיה, תת-קבוצה ${\displaystyle A}$ של מרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$ נקראת קבוצה צפופה, אם כל קבוצה פתוחה ולא ריקה ב-${\displaystyle X}$, מכילה איבר מתוך ${\displaystyle A}$. תכונה זו שקולה לכך שהסגור של ${\displaystyle A}$ שווה למרחב כולו.

אם ${\displaystyle \left(X,d\right)}$ מרחב מטרי, פירושו של דבר שניתן להתקרב כרצוננו לכל נקודה ב-${\displaystyle X}$ בעזרת נקודות מ-${\displaystyle A}$: לכל ${\displaystyle x\in X}$ ולכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$, יש ${\displaystyle a\in A}$ המקיימת ${\displaystyle d\left(x,a\right)<\varepsilon }$.

קבוצת המספרים הרציונליים, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, היא למשל צפופה בקבוצת המספרים הממשיים, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, עם הטופולוגיה הסטנדרטית (כלומר ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R} }$). היא גם צפופה בישר של סורגנפריי, ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$.

מרחב שקיימת בו קבוצה צפופה בת מנייה נקרא מרחב ספרבילי. לדוגמה, קבוצת המספרים הרציונליים צפופה בישר הממשי, שכן כל קטע פתוח בישר הממשי מכיל מספרים רציונליים (זוהי תכונת הארכימדיות של הממשיים). לכן השדה הממשי ספרבילי.

מדיה וקבצים בנושא קבוצה צפופה בוויקישיתוף

• קבוצה צפופה, באתר MathWorld (באנגלית)