מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה ה-20 פעלו המתמטיקאים מתוך תחושה שכל טענה מתמטית ניתנת להוכחה או, לחלופין, להפרכה (כלומר הוכחת אי-נכונות הטענה). בשנת 1931 הוכיח גדל, במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינקיפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שבכל מערכת אקסיומות עקבית לתורת המספרים, המקיימת את התנאי שיש אלגוריתם (תוכנית מחשב, בלשון ימינו) שמחליט לכל נוסחה אם היא אקסיומה או לא, יש טענה שלא ניתן להוכיחה או להפריכה. בנוסף הוכיח שהעקביות של המערכת עצמה אינה ניתנת להוכחה. אלה הם משפטי האי-שלמות של גדל, משפטים שהם אבני פינה של הלוגיקה המתמטית המודרנית.
בשנת 1936 רצח סטודנט נאצי את מוריץ שליק, מייסד החוג הווינאי, אשר עורר בגדל את העניין בלוגיקה. המאורע השפיע רבות על גדל, שהיה נתון ללחצים מצד משפחתו, והוא סבל שוב מהתמוטטות עצבים. את רוב שנת 1936 בילה בבתי חולים לחולי נפש בווינה. עד האביב של 1937 הספיק להחלים, ולימד קורס באוניברסיטה של וינה. בספטמבר 1938, כמה חודשים לאחר האנשלוס, נשא לאישה את אדל, ואז שוב הוזמן למכון בפרינסטון, ואחר-כך לאוניברסיטת נוטרדאם באינדיאנה (לשם ברח הלוגיקאי קרל מנגר הבן, שגדל השתתף בסמינר שלו בשנים עברו).
בקיץ 1939 שב גדל לווינה, שם נבדק ונמצא – במפתיע – כשיר לשירות צבאי. בסמוך לכך הוכה ברחוב על ידי חבורת נאצים, שחשבו כי הוא יהודי. כדי להמשיך ללמד באוניברסיטה, נדרש גדל להצהיר כי אינו יהודי, וסירב. בינואר 1940 ביקשו בני הזוג לעזוב את אוסטריה, מחשש שגדל יגויס לצבא הגרמני. עקב המצור הימי הבריטי הם הוכרחו לנסוע צפונה ללטביה, משם ברכבת הטרנס-סיבירית, ליפן ומשם לארצות הברית, בחזרה למכון למחקר מתקדם.
גדל השתקע בפרינסטון, ומאותה עת עזב את המכון רק לעיתים רחוקות. שם פגש את אלברט איינשטיין והפך לידידו הקרוב. בשנת 1940 הגיע להישג חשוב נוסף, כשהוכיח שאקסיומת הבחירה והשערת הרצף אינן סותרות את האקסיומות האחרות של תורת הקבוצות. הוא עשה זאת בעזרת מודל של תורת הקבוצות שנקרא קבוצות ניתנות לבנייה. בשנת 1946 קיבל משרה קבועה במכון.
באותן שנים ניסה גדל להוכיח שהשערת הרצף אינה מתחייבת משאר האקסיומות של תורת הקבוצות, ובכך להשלים את פתרונה של הבעיה הראשונה של הילברט, אבל בסביבות 1943 נטש את הניסיון (הבעיה נפתרה בסופו של דבר על ידי פול כהן). הוא עבר לעבוד על המשוואות של תורת היחסות. תוצאות שלו בכיוון זה, מסוף שנות הארבעים, הוערכו מאוד על ידי איינשטיין.
בשנת 1948 קיבל גדל אזרחות אמריקאית. אנקדוטה ידועה מספרת שלאחר שגדל למד את עקרונות החוקה לקראת הבחינה לקבלת אזרחות, הוא סיפר לאוסקר מורגנשטרן שמצא פרצה בחוקה האמריקאית שיכולה לאפשר לדיקטטור להשתלט על המדינה באופן חוקי. מורגנשטרן ואיינשטיין ליוו את גדל לראיון ומבחן הקבלה לאזרחות, ובמהלך המבחן סיפר גדל לשופט שערך את הבחינה על הפרצה שגילה. למזלו של גדל, השופט, שהיה מכר של איינשטיין, מיהר להסב את השיחה לנושאים מקובלים יותר, ובסיום הריאיון העניק לגדל את הגושפנקה הנחוצה לקבלת אזרחות.[2]
גדל היה אדם ביישן ומכונס בעצמו. בערוב ימיו התעוררה בו דאגה גוברת לבריאותו, והוא פיתח פרנויה שהתבטאה בחשש שמנסים להרעילו. הוא סירב לאכול כל מזון שלא הוכן בידי אדל אשתו, וכשנכנסה אדל לבית חולים לשישה חודשים, הפסיק לאכול כליל, עד שבסופו של דבר נפטר מתת-תזונה ב-14 בינואר1978. בסוף ימיו פחת משקלו עד לכ-30 קילוגרם, ובתעודת הפטירה שלו נכתב שמותו נגרם "כתוצאה מתת-תזונה וחולשה קיצונית שמקורן בהפרעת אישיות".
על שמו מוענק פרס גדל לציון הישגים יוצאי דופן בתחום התאוריה של מדעי המחשב.
גדל ומסע בזמן
רובה של פסקה זו אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.
אנא שקלו לשפר את אמינות הפסקה באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הפסקה בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים.
בשנת 1949 ניסח גדל פתרון אפשרי למשוואות הבסיסיות של תורת היחסות הכללית, שמתאר יקום שאינו מתפשט ואינו מתכווץ, אלא מסתובב. לפי הפתרון של גדל, ביקום כזה ייתכנו "קווי עולם" בצורת לולאות זמן סגורות (CTL). בפשטות, "קו עולם" הוא קו רציף במרחב-זמן (שבו הזמן הוא הממד הרביעי), המתאר "מיקום" חלקיק כלשהו בארבעת הממדים האלו (כלומר - הן במרחב והן בזמן בכל רגע ורגע). על פי תורת היחסות הכללית, מסה גורמת לעיקום של המרחב-זמן מסביבה, ולכן גם לעיקום של "קווי העולם" הקרובים אליה. לפי ההנחה של גדל, עיקום חזק דיו יכול תאורטית לגרום ל"קו עולם" מסוים להפוך ללולאה סגורה. במילים אחרות, שקול הדבר לחזרה אל העבר, כלומר למסע בזמן.[3]
אמנם, כדי ליצור קו עולם שכזה, היקום צריך לבצע סיבוב (סביב עצמו) אחת ל-70 מיליארד שנה, והמסע של "מכונת הזמן" יימשך לפחות 100 מיליארד שנה (לפי שעון המכונה), גם במהירות הקרובה למהירות האור. יש המצטטים בשמו של איינשטיין את "חוק הזהב" שלפיו לא ניתן לנוע אחורנית בזמן. עם זאת, גדל הוכיח באמצעות כלים מתמטיים כי באופן תאורטי, הדבר אפשרי, מה שגרם לאיינשטיין לפקפק בתיאוריה שלו. הפתרון של גדל ידוע בשם "מטריקת גדל", והוא מהווה פתרון מדויק למשוואת איינשטיין. כיום ממשיכים מדענים לחקור כיוונים שונים הקשורים למסע בזמן, ולפתירת הפרדוקסים הפיזיקליים והפילוסופיים הנובעים מכך.
גדל אמר שנתן פיתוח זה כמתנה לאיינשטיין לרגל יום הולדתו ה-70.
כמו כן, מובעת במאמצים מתמטיים אלו הגדרה אלגנטית כלשהי למדע הפיזיקה - מדע המאפשר לעוסקים בו ליצור עולמות דמיוניים בעלי מערכות פיזיקליות עובדות, ולאחר מכן לבדוק את מידת תאימותן למציאות.
אופיו
גדל היה ביישן ביותר. רתיעתו מהחצנה וחששותיו מהחברה באו לידי ביטוי במשך כל חייו, ועלו בקנה אחד עם הפרנויה שלו. בכל חייו היו לו רק קשר חברות עמוק אחד – עם אלברט איינשטיין. גדל ואיינשטיין היו קרובים מאוד זה לזה, הן מבחינה אינטלקטואלית והן מבחינה חברתית, ומוזרויותיו של גדל, ובראשן האקסיומה שהציב לעצמו לפיה שום דבר בעולם לא קורה בשל מקריות או טיפשות אנושית, לא הפריעו לאיינשטיין ואף שעשעו אותו, והוא מצא בגדל בן שיח אמיץ. איינשטיין העיד שבשנותיו האחרונות עבודתו כבר לא הייתה חשובה לו, אך הוא בא למכון למחקר מתקדם רק כדי ללוות את גדל לביתו ולשוחח איתו. מלבד איינשטיין, הייתה לו ידידות אמיצה עם אוסקר מורגנשטרן, שהתחזקה לאחר מותו של איינשטיין. כמו כן, הוא היה ידיד של אברהם רובינסון וג'ון פון נוימן, והאחרון הפיץ את משפטי אי השלמות שלו ועזר לו רבות בקידום הקריירה שלו ורעיונותיו[דרוש מקור]. לימים נמצא מכתב שגדל שלח לפון נוימן עת הלה היה חולה בסרטן ובו העלה את השאלה המנוסחת כיום בתור בעיית P=NP.[4]
לגדל היה פחד אובססיבי מהמוות, ייתכן שבשל ליקוי בלבו מגיל שמונה. הוא סבל מהיפוכונדריה קשה, ומורגנשטרן, בעת שהיה חולה בסרטן, זכה לביקור של גדל, ולאחר שהאחרון הבטיח לו ש"הסרטן שלו לא רק ייבלם אלא יתחיל לסגת", החל להתלונן על בריאותו ועל הקונספירציות שקושרים רופאיו נגדו כדי לא לרפאו. מורגנשטרן הוסיף כי גדל טען זה שנתיים ברציפות שהוא שרוי במצב חירום.
גדל לא אהב להביע את דעותיו אם לא הייתה לו הוכחה להן. גדל, שהיה חבר בחוג הווינאי, התנגד במובהק לפוזיטיביזם הלוגי שלו ולתפיסותיו של לודוויג ויטגנשטיין שזכה לעדנה מיוחדת בקרב חברי החוג, לא הציג את התנגדותו בחוג זה. גדל חשב את משפטי אי השלמות לאפלטוניסטיים במובהק, אך הוא לא הפגין כמעט את התנגדותו לפרשנות הפוזיטיביסטית לה הם זכו, פרט לשיחות אישיות. באופן כללי, הוא לא הסכים להביע דעות בסביבה עוינת, והאמין שהצגתם של רעיונות לא בשלים, במיוחד לקהל עוין, תהיה לא הוגנת כלפי הרעיונות עצמם.
האקסיומה שהנחתה את חשיבתו של גדל גרמה לו גם להתבטל בפני סמכות, כיוון שהוא מאמין שיש סיבה לפעולתה. כך, למשל, בשאלת המינויים במכון למחקר מתקדם הוא לא הסכים להצביע נגד המנהל, אף על פי שהלה הביע דעה נגדו בדיון.
מוצאו
באוטוביוגרפיה של ברטראנד ראסל, שכללה מספר אי-דיוקים באשר לעברו של גדל, הובאה טענה שעל פיה יש לו מקור יהודי. במכתב מפורט, שמעולם לא נשלח ונמצא לאחר מותו, הצביע גדל בפני ראסל על הנקודות השגויות, ובהן על יהדותו: "אני חייב להגדיר בתחילה כי איני יהודי (אם כי אינני חושב שעניין זה הוא בעל חשיבות כלשהי)".
לקריאה נוספת
משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה, ארנון אברון, 1998.
