בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני ${\displaystyle p}$, שהוא סופי בצד החזקות השליליות ${\displaystyle p^{-N}}$, ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר ${\displaystyle p}$, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

במספר p-אדי, שצורתו הכללית

${\displaystyle a_{-N}p^{-N}+\cdots +a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$

עשויים המקדמים ${\displaystyle a_{-N},\ldots ,a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$ להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq p-1}$, והצגה זו היא יחידה. על כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים.

מבין מספרים ה-p-אדיים, השלמים ה-p-אדיים הם הביטויים ${\displaystyle a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$, שבהם אין חזקות שליליות של ${\displaystyle p}$.

בין מספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle a,b}$ מגדירים מרחק לפי חזקת ${\displaystyle p}$ הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר.

באופן פורמלי, אם ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$ אזי ${\displaystyle |a|_{p}=p^{-k}}$, כאשר ${\displaystyle k=\min\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\neq 0\}}$. כמו כן מגדירים ${\displaystyle |0|_{p}=0}$. המטריקה היא ${\displaystyle d(a,b)=|a-b|_{p}}$.

תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים ${\displaystyle a_{n}p^{n}}$ הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה ${\displaystyle 1,p,p^{2},\ldots }$ שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה ${\displaystyle 1,p^{-1},p^{-2},\ldots }$ היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

לפי ההגדרה, המקדמים ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq p-1}$ בהצגה כטור חזקות הם חיוביים, ולכאורה אי אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדיים. אך ההפך הוא הנכון.

לדוגמה: יהי ${\displaystyle p=3}$ ונתבונן במספר

${\displaystyle \ldots 222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+\cdots }$

נחבר לו את המספר 1, ונקבל

${\displaystyle {\begin{array}{r}\ldots {\stackrel {1}{2}}{\stackrel {1}{2}}{\stackrel {}{2}}\\^{+}\ldots 001\\\hline \ldots 000\end{array}}}$

שכן ${\displaystyle 1+2=3}$ ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם ${\displaystyle 1+2=3}$ ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים:

${\displaystyle \ldots 222+1=0}$

ולכן ${\displaystyle -1=\,\ldots 222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+\cdots }$

במקרה הכללי מתקיים כי ${\displaystyle -1=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }(p-1)p^{n}}$. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של ${\displaystyle p=3}$ אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של ${\displaystyle p}$ מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן ${\displaystyle a_{0}=p-1,q=p}$ ולכן

${\displaystyle S={\frac {a_{0}}{1-q}}={\frac {p-1}{1-p}}=-1}$

כעת, כל מספר שלילי ${\displaystyle m}$ ניתן להציג כמכפלה של ההצגה ה-p-אדית של ${\displaystyle |m|}$ בהצגה ה-p-אדית של ${\displaystyle -1}$.

כל מספר רציונלי ניתן להציג באופן יחיד בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים,

${\displaystyle {\frac {2}{3}}=4+1\cdot 5+3\cdot 5^{2}+1\cdot 5^{3}+3\cdot 5^{4}+\cdots }$

אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור ${\displaystyle S=1+5^{2}+5^{4}+5^{6}+\cdots }$ מתכנס, וסכומו על פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים ${\displaystyle S={\frac {1}{1-5^{2}}}=-{\frac {1}{24}}}$. לכן הסכום לעיל מתכנס ל- ${\displaystyle 4+5\cdot S+3\cdot 5^{2}\cdot S=4-{\frac {80}{24}}={\frac {2}{3}}}$.

השבר המצומצם ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ הוא שלם p-אדי, אם ורק אם ${\displaystyle p}$ אינו מחלק את המכנה ${\displaystyle b}$. למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל,

${\displaystyle {\sqrt {7}}=1+3+3^{2}+2\cdot 3^{4}+2\cdot 3^{7}+3^{8}+\cdots }$

(ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר ${\displaystyle p\neq 2}$, ו-${\displaystyle a}$ הוא מספר שלם זר ל-${\displaystyle p}$ ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל-${\displaystyle a}$ שורש p-אדי אם ורק אם ${\displaystyle a}$ הוא שארית ריבועית מודולו ${\displaystyle p}$. בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מאחר שלמספר השלילי ${\displaystyle 1-p^{3}}$ תמיד יש שורש p-אדי.

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:

${\displaystyle x=(\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})=(x_{n})_{n=1}^{\infty }}$

כך שלכל ${\displaystyle n\geq 1}$ מתקיים ${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו ${\displaystyle p}$). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:

• הם מקיימים ${\displaystyle \forall n\leq m:x_{n}=x_{m}\ {\text{mod}}\ p^{n}}$
• או באופן שקול, המעבר מ-${\displaystyle x_{n}}$ ל-${\displaystyle x_{n-1}}$ נעשה על ידי ${\displaystyle x+p^{n}\mapsto x+p^{n-1}}$.

נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור ${\displaystyle p}$ ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:

• חיבור: ${\displaystyle x+y=(\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})+(\ldots ,y_{n},\ldots ,y_{1})=(\ldots ,x_{n}+y_{n},\ldots ,x_{1}+y_{1})}$
• כפל: ${\displaystyle x\cdot y=(\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})\cdot (\ldots ,y_{n},\ldots ,y_{1})=(\ldots ,x_{n}y_{n},\ldots ,x_{1}y_{1})}$

למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: ${\displaystyle x_{n}+y_{n},x_{n}\cdot y_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$).
זהו חוג עם אפס ${\displaystyle 0=(\ldots ,0,0,0)}$ ויחידה ${\displaystyle 1=(\ldots ,1,1,1)}$. יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.

נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:

${\displaystyle (\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$

כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:

${\displaystyle x_{n+1}=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}}$

בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}a_{0}&=&x_{1}\\a_{1}&=&{\dfrac {x_{2}-x_{1}}{p}}\\a_{2}&=&{\dfrac {x_{3}-x_{2}}{p^{2}}}\\a_{3}&=&{\dfrac {x_{4}-x_{3}}{p^{3}}}\\&\vdots &\\a_{n}&=&{\dfrac {x_{n+1}-x_{n}}{p^{n}}}\\&\vdots &\end{array}}}$

או בנוסחה מפורשת:

${\displaystyle a_{n}={\frac {x_{n+1}-x_{n}}{p^{n}}}=x_{n+1}\ {\text{div}}\ p^{n}}$

כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל ${\displaystyle 8\ {\text{div}}\ 3=(2+3\cdot 2)\ {\text{div}}\ 3=2}$).

קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הנקרא שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p-אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח כי למשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר ${\displaystyle p^{n}}$. אוסף ההעתקות הרציפות מ-${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} =\cup _{n\,=\,1}^{\infty }p^{-n}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$.

• שדה המספרים ה-p-אדיים

מדיה וקבצים בנושא מספר p-אדי בוויקישיתוף

• מספר p-אדי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• אלכסנדר לובוצקי, שימושים ממשיים למספרים לא ממשיים, איגרת 37, דצמבר 2015
• אנדרו בייקר, הרצאות בקורס על מבוא למספרים p-אדים, אוניברסיטת גלאזגו, סקוטלנד, 2011
• מספר p-אדי, באתר MathWorld (באנגלית)

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]}$ • חוג השלמים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Z} }}}$ • חוג השלמים של אייזנשטיין ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]}$
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Q} }}}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון ${\displaystyle \ {\mathbb {H} }}$) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי ${\displaystyle \ {\mathbb {O} }}$) • אלגברות קיילי-דיקסון

תרשים מערכות מספרים ואובייקטים קשורים

מקרא   שדה.   חוג קמוטטיבי עם יחידה.   חוג עם חילוק.   מבנה כללי יותר.   קבוצה סופית   קבוצה בת מניה   קבוצה מעוצמת הרצף   מחלקה הגדולה מכדי להיות קבוצה שיכון העתקה על   איזומורפיזם לא קאנוני.    חלק בתרשים שקיים רק בחלק מהמקרים (בהתאם לבחירה של שדה המספרים ${\displaystyle K}$). ללא העתקות אלה וללא האיזומורפיזמים הלא קאנוניים, הדיאגרמה היא קומוטטיבית.             אלגברות קיילי-דיקסון אלגברות קיילי-דיקסון                           ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$               ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$   הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים                                                                                                                                              ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} (t)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} (t)}}}$   ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$   ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {C} }$   ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$       ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$                                                                                                              ${\displaystyle {\widehat {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}}$                                                                         ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} (t)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} (t)}}}$   ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$     ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$     ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$             ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$                               ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}(t)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}(t)}}}$     ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}$                                                       ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Z} }}}$                 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$       ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$   ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$ ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$                                                               ${\displaystyle K}$[1] ${\displaystyle K}$[1]     ${\displaystyle _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} }$   ${\displaystyle _{\nu }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle :=}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle _{\nu }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle :=}$${\displaystyle F}$   ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$                                               שדה מקומי ממאפיין חיובי ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ שדה מקומי ממאפיין חיובי ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$                   ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$       ${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {O}}_{K}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {O}}_{K}}}}$   ${\displaystyle {{\mathcal {O}}_{F}}}$ ${\displaystyle {{\mathcal {O}}_{F}}}$   ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}/{\mathcal {P}}_{F}}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}/{\mathcal {P}}_{F}}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$     ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$   שדה המספרים הסוריאליסטיים שדה המספרים הסוריאליסטיים                                       ${\displaystyle {}_{real}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} (t)}}}$ ${\displaystyle {}_{real}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} (t)}}}$   ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$   ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$   ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$                                                                                                                 ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$   ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$     ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$     ${\displaystyle _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbb {A} }$   ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$       ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$     ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$                                                                               ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$     ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$     ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$   ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$     ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$   ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$     ${\displaystyle [[t]]}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle [[t]]}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$                           מספרים סודרים מספרים סודרים             ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {N} }$[2] ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {N} }$[2]     ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$             ${\displaystyle \mathbb {Z} |_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} |_{n}}$   ^ ${\displaystyle K}$ יכול להיות כל שדה מספרים. השדה ${\displaystyle F}$ יהיה ההשלמה שלו במקום סופי שלו, והשדה הסופי ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ יהיה מנה של חוג השלמים ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ באידיאל הראשוני המתאים. לדוגמה אפשר לקחת את ${\displaystyle K=\mathbb {Q} \langle i\rangle }$ ואז ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ יהיה חוג השלמים של גאוס. אם רוצים ששני החיצים המקווקוים ייצגו העתקות אז צריך לבחור שדה שיש לו גם שיכונים ממשיים וגם מרוכבים, למשל ${\displaystyle K=\mathbb {Q} \langle {\sqrt[{4}]{2}}\rangle }$. ^ הסימבול ${\displaystyle t}$ יכול לסמן משתנה אחד או כל קבוצה סדורה היטב של משתנים. יש שיכון בין אוביקט המתאים לקבוצה ${\displaystyle X}$ של משתנים לבין אוביקט המתאים לקבוצה ${\displaystyle X'}$ של משתנים המכילה את ${\displaystyle X}$.