משה (מואיז) נולד בי"א באיירתרמ"ה בסלוניקי לחיים ולמרים לבית חיים אנג'ל. משפחת אביו מוצאה מסביבות אגם קומו (שם המשפחה קרסו משמר את שם עיירת מוצאם Carasso, כ-50 ק"מ מצפון לעיר קומו, כיום בתחומי שווייץ). אביו היה סוחרסיטונאי ובעל מכולת וממנהיגי קהילת סלוניקי. בילדותו קיבל משה חינוך מסורתי והיה פעיל באגודה הציונית קדימה. בגיל 14 קיבל לידיו את ניהול המכולת המשפחתית כיוון שאביו החליט להקדיש את זמנו ללימוד תורה.
ב-1914 נשא לאשה את ציפורה (פלומבה), לזוג נולדו שני בנים: חיים (1914) ואריה (1915). ב-1917 עברה המשפחה לפיראוס ושם התרחבו עסקי המסחר הענפים של משה והוא הפך לאחד מעשירי העיר. בפיראוס נולדו גם מרים, ובלה (אמו של איש העסקים יוסף דוד חכמי).
ב-1924, עקב מלחמת יוון–טורקיה, עלו בני המשפחה לארץ ישראל והשתקעו ביפו. ילדי המשפחה, שידעו עברית עוד מבית הוריהם, נשלחו ללמוד בגימנסיה הרצליה. בהמשך נולדו לבני הזוג הבנים שלמה ובנימין.
בשנת 1925 פתח בשותפות עם משה אהרון רוטלוי, שעלה מפולין, את מפעל הטקסטיל "רוטקס", בשכונת פלורנטין.
בשנת 1925 רכש קרסו מד”ר אברהם רוזנשטיין מגרש בפינת הרחובות נחלת-בנימין והשומר בתל אביב. בסוף 1927 הסתיימה בניית בית בן שלוש קומות במגרש, אותו תכנן האדריכל אמיל טיינר. בקומת הקרקע בבניין נבנו ארבע חנויות. בית זה מוכר כיום בשם "בית משה קרסו". קרסו צירף אליו את אחיו הצעיר, אנג’ל קרסו (1891-1971), כשותף זוטר.
בשנת 1928, בעקבות בקשת ראש העיר, מאיר דיזנגוף, בנה קרסו את קולנוע אופיר,
הראינוע השני בתל-אביב. בנוסף הוא קיבל גם זיכיון להפצת סרטים ומכונות ראינוע וקולנוע במזרח הקרוב.
בשנת 1933 נכנס קרסו אל תחום עסקי הרכב, אז עלה לארץ מאלכסנדריה שבמצרים יצחק ארדיטי, שקיבל את זיכיון הייבוא והשיווק של חברת ג'נרל מוטורס בארץ ישראל. הוא פתח בשדרות ירושלים (רחוב קינג ג'ורג' דאז) ביפו סוכנות שיווק מכוניות פרטיות בשותפות עם משה שנקראה "מואיז קרסו, מחלקת מכוניות"[1].
בשנת 1945 הקים עם בניו את חברת "משה קרסו ובניו בע"מ" אשר עסקה בייבוא חלקי חילוף לרכבים, משאיות, אוטובוסים. בשנת 1947 היא החלה לייבא כלי רכב מתוצרת "הילמן" הבריטית. ב-1948 קיבלה החברה את הזיכיון למכירת מכוניות רנו במדינת ישראל הצעירה, במקום היבואן הערבי של רנו שנמלט מן הארץ[1].
מניותיו בקבוצת קרסו חולקו בין ארבעת ילדיו בחלקים שווים.
יחד עם שותפו, משה יצחק מטלון הקימו השניים את "גן משה", "ירים משה", "גבעת משה" (א' וב', מזרחית לשכונת שפירא) ושכונת "ימין משה" בתל אביב (כאן היה גם בן-ציון אהרונוביץ שותף)