Először a nagymamája tanította zongorázni, majd hegedülni tanult, aztán tenorszaxofonozni kezdett a középiskolája zenekarban. Tizenötéves korában a louisianai zenekarvezető, Frank Davis együttesébe került. Velük koncertezett Houstonban és egész Louisianában.
Miután 1939-ben visszautasította Count Basie ajánlatát. Cobb 1942-ben Lionel Hamptonbig bandjében szaxofonozott. 1947-ig maradt a Hamptonnál. Cobb szólója Hampton szignáljában, a „Flying Home No. 2”-ben nagy siker lett.
Cobb ezután saját – héttagú – zenekart alapított, de 1950-ben súlyosan megbetegedett, ami miatt gerincműtétre volt szüksége. Bár felépülve újra megalakította a zenekart, de 1956-ban sikere ismét félbeszakadt, ezúttal egy autóbaleset miatt. Ennek hosszú távú hatásai voltak az egészségére, többször kórházi kezelésre szorult, és mankót kellett használnia. Ennek ellenére Cobb szólistaként dolgozott az 1970-es, -80-as években az Egyesült Államokban és külföldön is. Még 1988-ban is – Jimmy Heath-szel és Joe Hendersonnal – játszott Európában.
Ez a szócikk részben vagy egészben az Arnett Cobb című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
