Nella sua prima stagione a Stanford disputò 13 partite, a una media di 20 snap.[5] L'anno successivo giocò come titolare tutte le 14 partite ed inserito al fine stagione nel Second-team All-Pac-12. Nel 2014 fu selezionato come All-American,[6][7] inserito nel First-team All-Pac-12 e vinse il Morris Trophy, premio assegnato al miglior offensive lineman della West Coast.[8]
Al termine della sua terza stagione con Stanford, Peat annunció di voler passare tra i profeassionisti e di candidarsi quindi per il Draft NFL 2015.[9]
Peat era pronosticato come una delle prime dieci scelte del Draft NFL 2015.[10] Il 30 aprile fu selezionato come 13º assoluto dai New Orleans Saints.[11] Il 21 maggio 2015 Peat firmò il suo contratto da rookie con i Saints: un accordo quadriennale, con opzione per un quinto anno, da 11,4 milioni di dollari totalmente garantiti e comprensivi di un bonus alla firma di 6,5 milioni di dollari.[12][13]
Peat debuttò come professionista subentrando nella gara del primo turno della stagione 2015contro gli Arizona Cardinals.[14] Giocò la sua prima partita da titolare nel dodicesimo turno, la sconfitta 6-12 contro gli Houston Texans.[15] La sua stagione da rookie si concluse disputando 12 partite, di cui 8 come titolare.[16]
Il 13 aprile 2018 i Saints sfruttarono l'opzione per prolungare di un quinto anno il contratto di Peat.[17] Al termine della stagione 2018 Peat fu convocato al suo primo Pro Bowl, selezione avvenuta anche nelle due annate successive.[18][19]
Il 20 marzo 2020 Peat firmò un nuovo contratto quinquennale con i Saints per un valore di 57,5 milioni di dollari, di cui 38 garantiti.[20][13]
Al termine della stagione 2023, dopo aver giocato prima come terza guardia del roster e poi essere stato spostato nella vecchia posizione giocata al college di tackle, Peat non sfruttò la possibilità di giocare un anno altro con i Saints e divenne free agent.[21][22]