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In statistica, il coefficiente di determinazione, più comunemente R², è un indice che misura il legame tra la variabilità dei dati e la correttezza del modello statistico utilizzato. Intuitivamente, esso è legato alla frazione della varianza non spiegata dal modello.

La definizione più generale è la seguente:

${\displaystyle R^{2}=1-{\frac {RSS}{TSS}},}$

con ${\displaystyle RSS}$ devianza residua (Residual Sum of Squares):

${\displaystyle RSS=\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}$

${\displaystyle TSS}$ devianza totale (Total Sum of Squares):

${\displaystyle TSS=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}$

dove:

${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$ sono i dati stimati dal modello,

${\displaystyle y_{i}}$ sono i dati osservati,

${\displaystyle {\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$ è la media dei dati osservati.

L'adjusted ${\displaystyle R^{2}}$ (o ${\displaystyle {\bar {R^{2}}}}$) (meglio conosciuto in Italiano come ${\displaystyle R^{2}}$ corretto o aggiustato) è una variante dell' ${\displaystyle R^{2}}$ semplice.

Mentre ${\displaystyle R^{2}}$ semplice è utilizzato per l'analisi di regressione lineare semplice come principale indice di bontà della curva di regressione, ${\displaystyle R^{2}}$ corretto viene utilizzato per l'analisi di regressione lineare multipla. Esso serve a misurare la frazione di devianza spiegata, cioè la proporzione di variabilità di ${\displaystyle Y}$ "spiegata" dalla variabile esplicativa ${\displaystyle X}$. All'aumentare del numero di variabili esplicative (o predittori) ${\displaystyle X}$, aumenta anche il valore di ${\displaystyle R^{2}}$, per cui spesso è utilizzato al suo posto ${\displaystyle {\bar {R^{2}}}}$, che serve a misurare la frazione di varianza spiegata.

Il coefficiente ${\displaystyle {\bar {R}}^{2}}$ può essere negativo e vale sempre la disuguaglianza ${\displaystyle {\bar {R}}^{2}\leq R^{2}}$.

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}=1-{n-1 \over n-k-1}\cdot {\frac {RSS}{TSS}},}$

dove:

• ${\displaystyle n}$ è il numero delle osservazioni;
• ${\displaystyle k}$ è il numero dei regressori.

Se si ha a disposizione la correlazione tra due variabili discrete, ${\displaystyle \rho _{X,Y}}$, (o indice di correlazione di Pearson) si può determinare il coefficiente di determinazione, elevando semplicemente al quadrato la correlazione. Viceversa, se si ha a disposizione ${\displaystyle R^{2}}$, si può determinare la correlazione, facendo la radice quadrata.

${\displaystyle {\displaystyle R^{2}=\rho _{X,Y}^{2}\Leftrightarrow \rho _{X,Y}={\sqrt {R^{2}}}}}$

dove:

• ${\displaystyle \displaystyle \rho _{X,Y}}$ è la correlazione tra le variabili ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, ottenibile dividendo la covarianza tra le due variabili e il prodotto dei loro scarti quadratici medi ${\displaystyle \displaystyle \rho _{X,Y}=\left({\frac {\sigma _{X,Y}}{\sigma _{X}\cdot \sigma _{Y}}}\right)}$.

La formula empirica di questo modello è il seguente:

${\displaystyle R^{2}={\frac {ESS}{TSS}},}$

dove ${\displaystyle ESS=\sum _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}}$ è la devianza spiegata dal modello (Explained Sum of Squares). Questa definizione è possibile poiché, per regressioni lineari semplici, la devianza può essere scomposta come ${\displaystyle ESS=TSS-RSS}$.

R² varia tra ${\displaystyle -\infty }$ e 1: quando è 0 il modello utilizzato offre una spiegazione dei dati non migliore del valore medio (${\displaystyle RSS=TSS}$); quando è 1 il modello spiega perfettamente i dati. Un modello peggiore della media (${\displaystyle RSS>TSS}$) ha coefficiente ${\displaystyle R^{2}}$ minore di 0.

Se ${\displaystyle R^{2}}$ o ${\displaystyle {\bar {R^{2}}}}$ sono prossimi a 1, significa che i regressori predicono bene il valore della variabile dipendente in campione; mentre se è uguale a 0, significa che non lo fanno.^[1]

I coefficienti ${\displaystyle R^{2}}$ e ${\displaystyle {\bar {R^{2}}}}$ non dicono se:

1. una variabile sia statisticamente significativa;
2. i regressori sono causa effettiva dei movimenti della variabile dipendente;
3. c'è una distorsione da variabile omessa;
4. è stato scelto il gruppo dei regressori più appropriato.

• James Stock, Mark Watson, Introduzione all'econometria, Milano, Pearson Education, 2005, p. 121, ISBN 978-88-7192-267-6. 9788871922676
• Draper, N.R. and Smith, H. (1998). Applied Regression Analysis. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-17082-8
• Everitt, B.S. (2002). Cambridge Dictionary of Statistics (2nd Edition). CUP. ISBN 0-521-81099-X
• Nagelkerke, Nico J.D. (1992) Maximum Likelihood Estimation of Functional Relationships, Pays-Bas, Lecture Notes in Statistics, Volume 69, 110p ISBN 0-387-97721-X
• Luigi Fabbris, Statistica multivariata (analisi esplorativa dei dati). 1997, McGrawHill. ISBN 88-386-0765-6

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su coefficiente di determinazione

• (EN) Felicity Boyd Enders, coefficient of determination, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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