Elizabeth Arnot iniziò la carriera giocando inizialmente per l'Edinburgh City, per passare poi all'Hutchison Vale prima di trasferirsi all'Hibernian nel gennaio 2012.[1]
Grazie al secondo posto ottenuto dalla sua squadra al termine della stagione 2016 dietro le campionesse del Glasgow City e alla riorganizzazione della UEFA Women's Champions League che porta a due le squadre scozzesi ammesse alla UEFA Women's Champions League 2016-2017[2], Arnot ha l'occasione di debuttare in un torneo internazionale per club, ai sedicesimi di finale della stagione 2016-2017, nell'incontro del 5 ottobre 2016 che vede le scozzesi sconfitte in casa per 6-0 dalle tedesche del Bayern Monaco, giocando anche la partita di ritorno, persa 4-1, prima di essere eliminate dal torneo. Il secondo posto, ancora dietro al Glasgow City, nella stagione successiva, garantisce ancora l'accesso alla fase preliminare della Champions League 2017-2018.[3] Nel maggio 2018, dopo oltre un anno di assenza causato dal recupero da un grave in infortunio al legamento crociato, Arnot mette a segno una cinquina nella finale di SWPL Cup vinta per 9-0 dall'Hibernian.[4]
Nel giugno 2018 il sito BBC Sport annuncia che Arnot non avrebbe rinnovato il contratto con le Hibs[5], e il mese successivo viene dato l'annuncio del suo trasferimento alla neoistituita Manchester United femminile per la sua stagione inaugurale 2018-2019.[6]
Dal 2013 veste la maglia della formazione Under-19 con la quale rimane fino al raggiungimento del limite d'età totalizzando 11 reti su 28 presenze.[7]
L'allora selezionatrice della nazionale maggioreAnna Signeul decide di farla debuttare il 17 settembre 2015, nell'incontro perso 4-0 con le avversarie della Norvegia quando al 69' rileva Joanne Love partita titolare.[7] Dopo oltre un anno di assenza causato da un infortunio al legamento crociato, che le preclude la convocazione all'Europeo dei Paesi Bassi 2017[8], Arnot viene richiamata in nazionale nel maggio 2018.[4]