Nata da Maurizio, medico chirurgo di Poirino, e Margherita Luigia Ducato, benestante di Chiesi, si formò, ancora bambina, come strumentista, studiando pianoforte e violino. Cominciò ad esibirsi a soli nove anni come violinista e in seguito entrò al Regio Conservatorio di Milano intraprendendo lo studio del canto.
Nel 1900, non ancora diciottenne, debuttò al Teatro Vittorio Emanuele (oggi Auditorium RAI) di Torino nel ruolo di Santuzza con la Cavalleria rusticana di Mascagni. Il successo fu immediato e si amplificò negli anni successivi, nei quali Eugenia si andò affermando come interprete lirico-drammatica, secondo i dettami allora in voga della scuola verista.
La sua consacrazione a diva del melodramma fu decretata dal successo ottenuto al Teatro Regio di Parma nel 1904, con l'impegnativo ruolo di Leonora nella Forza del destino di Verdi.
Pur non disdegnando ruoli del repertorio classico e romantico (Armide di Gluck, Norma di Bellini, La favorita di Donizetti), spostò la sua attenzione, soprattutto nella seconda metà della sua carriera, su opere di clima verista, più adatte al suo temperamento focoso e al suo magnetismo sulla scena, come La fanciulla del West di Puccini e Goffredo Mameli di Leoncavallo.
Nel 1919 si ritirò dalle scene con la Marion Delorme di Ponchielli. Dopo aver assunto la direzione del periodico teatrale Comoedia, morì a soli trentanove anni per un'uremia causata da una nefrite e fu sepolta nel cimitero di Chieri.
Eugenia Burzio è una delle prime artiste ad aver lasciato un congruo numero di registrazioni, realizzate a Milano tra il 1905 e il 1916 con i primi rudimentali sistemi di incisione fonografica. Molte di queste testimonianze sonore sono oggi disponibili anche su supporto CD.
Luigi Allegri, Vittoria Crespi Morbio: Diva. Il mito della primadonna da Maria Malibran a Maria Callas. Brescia, Palazzo Martinengo: 30 marzo-8 giugno 2008 (catalogo della mostra).