シャープレイ値（シャープレイち、英: Shapley value）とは、ゲーム理論において協力によって得られた利得を各プレイヤーへ公正に^[1] 分配する方法の一案である。1953年の論文でこの概念を提示したロイド・シャープレーに由来する名称である。

協力ゲームの理論では、プレイヤーが提携し、その提携によって獲得された報酬を分配するような状況を考える。 このときプレイヤー間で提携への貢献度が異なるとしたら、 どのように報酬を分配することが公正な分配であるといえるか、 各プレイヤーは作業全体に対してどれほど重要であり、 その重要度に応じた合理的な報酬を期待できるか、という問題が生じる。 シャープレイ値はこのような状況における公正な報酬計算方法の一つである。

状況を定式化するために、特性関数型ゲームの概念を導入する。 プレイヤーの集合 ${\displaystyle N}$ および関数を ${\displaystyle v\;:\;{\mathcal {P}}(N)\;\to \Re }$ へ定義する。 こうしてプレイヤーの部分集合から実数への関数（特性関数という）は以下の性質をもつ。

1. ${\displaystyle v(\varnothing )=0}$
2. ${\displaystyle v(S\cup T)\geq v(S)+v(T)}$

ここで${\displaystyle S}$ と ${\displaystyle T}$ は ${\displaystyle N}$ の任意の非交の（交わりが空集合の）部分集合である。

関数 ${\displaystyle v}$ の性質は以下のとおりである。 もしも ${\displaystyle S}$ がプレイヤーの提携で、協力に合意している場合、${\displaystyle v(S)}$ は その提携からの総報酬の期待値を示す。 このときの ${\displaystyle v(S)}$ の値は ${\displaystyle S}$ 以外のプレイヤーの行動とは独立に決まる。

不等式で示される第二の条件 ${\displaystyle v}$ の優加法性とは、 二つのグループ（単独でもよい）が協働することで 報酬の総和が増えることはあっても減ることはないという性質を表す。

シャープレイ値は，全員が協働するとしたときに，総報酬をプレイヤーに分配する方法の一つである。 この分配は，以下に示す条件を満足する唯一の分配案であるという意味で「公正な」分配である。 プレイヤー ${\displaystyle i}$ は上記の定義に基づく特性関数 ${\displaystyle v}$ のもとで、

${\displaystyle \phi _{i}(v)=\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}{\frac {|S|!\;(n-|S|-1)!}{n!}}(v(S\cup \{i\})-v(S))}$

という配分を得る。 ここで、${\displaystyle n}$ はプレイヤーの総数であり、 足し合わせの範囲は ${\displaystyle N}$ の部分集合 ${\displaystyle S}$ のうち プレイヤー ${\displaystyle i}$ を含まないものすべてである。 本式は、プレイヤーがひとりずつ提携に加わり、その寄与分 ${\displaystyle v(S\cup \{i\})-v(S)}$ を公正な報酬として要求するときの プレイヤー ${\displaystyle i}$ の取り分を、 提携に参加する順序を変えたすべての順列について考え、平均したものである。

シャープレイベクトル (Shapley vector) は全プレーヤーのシャープレイ値を要素とするベクトルであり、

${\displaystyle \phi (v)=(\phi _{1}(v),\phi _{2}(v),...,\phi _{n}(v))}$

と表される。

シャープレイ値は以下のような好ましい性質を持つ。^[2]

1. 個人合理性: 個人合理性とは，全てのプレイヤーに1人で提携を作る時の利得${\displaystyle v(\{i\})}$以上の利得を与える性質である。すなわち${\displaystyle N}$の全てのプレイヤー ${\displaystyle i}$ に対して、

${\displaystyle \phi _{i}(v)\geqq v(\{i\})}$

が成り立つ。

2. 全体合理性: ${\displaystyle N}$ 全体の提携値は各プレイヤーの利得の総和である。

${\displaystyle \sum _{i\in N}\phi _{i}(v)=v(N)}$

3. 対称性: プレイヤー ${\displaystyle i}$ とプレイヤー ${\displaystyle j}$ が同様の意味を持つ、つまり、 ${\displaystyle v(S\cup \{i\})=v(S\cup \{j\})}$ が ${\displaystyle N}$ の ${\displaystyle i}$ も ${\displaystyle j}$ も含まない全ての部分集合 ${\displaystyle S}$ に成り立つ場合、

${\displaystyle \phi _{i}(v)=\phi _{j}(v)}$

である。

4. 加法性: 2つの特性関数 ${\displaystyle v}$ と ${\displaystyle w}$ によって作った提携ゲームの和 ${\displaystyle v+w}$ において，各プレイヤーの報酬はそれぞれの提携ゲームで得られる報酬の和と一致する。

${\displaystyle \phi _{i}(v+w)=\phi _{i}(v)+\phi _{i}(w)}$

これが ${\displaystyle N}$ の全てのプレイヤーについてそれぞれ成り立つ。

5. ナルプレイヤーに関する性質: ナルプレイヤー i に対して報酬を与えない。 ここで、プレイヤー ${\displaystyle i}$ がナルプレイヤーであるとは、 ${\displaystyle i}$ が ${\displaystyle N}$ の ${\displaystyle i}$ を含まない全ての部分集合 ${\displaystyle S}$ について、 ${\displaystyle v(S\cup \{i\})=v(S)}$ を満たすことを言う。

実際のところ,プレイヤー集合 ${\displaystyle N}$と 各提携に対する利得の値 ${\displaystyle v(S)}$ を決める特性関数が与えられたとき, シャープレイ値ベクトルは、全ての優加法的なゲーム(superadditive games)のクラスにおいて、上に挙げた特性2,3,4,5の4つの全ての特性を満たす唯一のベクトルである。

グローブゲーム(glove game)は、プレイヤーが左手用または右手用のグローブを持っていて、左手用と右手用のグローブのペアを作ろうとする提携ゲームである。 ここでは例としてプレイヤーを3人としてその集合${\displaystyle N}$を次のように定める。

${\displaystyle N=\{1,2,3\}\,\!}$

ここでプレイヤー1とプレイヤー2が右手のグローブを、プレイヤー3が左手のグローブを持っているとする。この提携ゲームの特性関数は以下のように書ける。

${\displaystyle v(S)={\begin{cases}1,&{\text{if }}S\in \left\{\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\right\}\\0,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$

ここで、シャープレイ値は以下のように計算できる。

${\displaystyle \phi _{i}(v)={\frac {1}{|N|!}}\sum _{R}\left[v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})\right]\,\!}$

${\displaystyle R\,\!}$とはプレイヤーの配列である。${\displaystyle P_{i}^{R}\,\!}$ は、配列${\displaystyle R\,\!}$でプレイヤー${\displaystyle i\,\!}$の前に並んでいる${\displaystyle N\,\!}$のプレイヤーの集合である。

ここで、下表にプレイヤー1が配列に参加することによる寄与分を示す。

配列 ${\displaystyle R\,\!}$	プレイヤー1の寄与分
${\displaystyle {1,2,3}\,\!}$	${\displaystyle v(\{1\})-v(\varnothing )=0-0=0\,\!}$
${\displaystyle {1,3,2}\,\!}$	${\displaystyle v(\{1\})-v(\varnothing )=0-0=0\,\!}$
${\displaystyle {2,1,3}\,\!}$	${\displaystyle v(\{1,2\})-v(\{2\})=0-0=0\,\!}$
${\displaystyle {2,3,1}\,\!}$	${\displaystyle v(\{1,2,3\})-v(\{2,3\})=1-1=0\,\!}$
${\displaystyle {3,1,2}\,\!}$	${\displaystyle v(\{1,3\})-v(\{3\})=1-0=1\,\!}$
${\displaystyle {3,2,1}\,\!}$	${\displaystyle v(\{1,2,3\})-v(\{2,3\})=1-1=0\,\!}$

よって、

${\displaystyle \phi _{1}(v)={\frac {1}{3!}}\cdot 1={\frac {1}{6}}\,\!}$

が得られる。対称性の議論によって、プレイヤー2はプレイヤー1と対称なプレイヤー(同様の寄与をもたらすプレイヤー)であるから、

${\displaystyle \phi _{2}(v)=\phi _{1}(v)={\frac {1}{6}}\,\!}$

である。シャープレイ値は全体合理性を満たし、全てのプレイヤーのシャープレイ値の総和は1になるので、

${\displaystyle \phi _{3}(v)=1-\phi _{1}(v)-\phi _{2}(v)={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}\,}$

が得られる。

1. ^ ここでいう公正さとは「数学的に定義されたいくつかの条件を満たすこと」と同義である。
2. ^ 船木由喜彦 著,『エコノミックゲームセオリー』の表現に拠った。

• 協力ゲーム
• シャープレイ＝シュービック投票力指数
• SHAP値（SHapley Additive exPlanations value）– ブラックボックスになりがちな機械学習の分野において、モデルに説明性を与えるために活用されている。

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2023年10月）

• Lloyd S. Shapley. A Value for n-person Games. In Contributions to the Theory of Games, volume II, by H.W. Kuhn and A.W. Tucker, editors. Annals of Mathematical Studies v. 28, pp. 307-317. Princeton University Press.
• Eric Rasmusen. Games & Information 3rd Edition, Blackwell Publishers, 2001.
• 鈴木光男 武藤滋夫 著,『協力ゲームの理論』,東京大学出版会
• 中山幹夫 他著,『協力ゲーム理論』,勁草書房
• 船木由喜彦 著,『エコノミックゲームセオリー』,サイエンス社

本記事は英語版ウィキペディア記事

• Shapley value. Wikipedia: Free Encyclopedia. [:en]

16:08, 27 October 2007 からの抄訳に基づいて作成された。

特性およびグローブゲームの項は英語版ウィキペディア記事

• Shapley value. Wikipedia: Free Encyclopedia. [1]

15:49, 30 April 2011 からの抄訳に基づいて作成された。

表 話 編 歴 ミクロ経済学
分野	価格理論 ゲーム理論 契約理論 メカニズム・デザイン 社会選択理論 厚生経済学
価格理論	基本 配分 希少性 機会費用 凸性（英語版） 弾力性 弾力性 代替の弾力性 供給の価格弾力性（英語版） 需要の価格弾力性 需要の所得弾力性 交差弾力性 関数の弾力性（英語版） 弧弾力性（英語版） 財 財 代替財 補完財 独立財 ギッフェン財 ヴェブレン財 正常財 通常財 必需品 贅沢品 自由財 関数形 コブ＝ダグラス型関数 CES型関数 準線形効用関数 線形効用関数（英語版） レオンチェフ型関数 エプスタイン–ジン型選好 トランスログ型関数（英語版） ゴーマン極形型（英語版） 斉次函数 定理/補題 シェパードの補題（英語版） マッケンジーの補題 包絡線定理（英語版） ロワの恒等式 効用 局所非飽和（英語版） 期待効用 危険回避 等弾力的効用関数（英語版） 序数的効用（英語版） 基数的効用（英語版） 市場 完全競争 不完全競争 独占 自然独占 独占的競争 複占 寡占 モノプソニー 消費者 家計 需要の法則（英語版） 選好関係 効用関数 間接効用関数（英語版） 需要関数 マーシャル型需要関数（英語版） ヒックス型需要関数（英語版） 支出関数（英語版） スルツキー方程式 無差別曲線 限界代替率 異時点間選択（英語版） 予算集合（英語版） 効用最大化 ラグランジュの未定乗数法 生産者 企業 生産集合（英語版） 生産可能性フロンティア 生産関数 等量曲線 限界変形率 規模に関する収穫（英語版） 費用最小化 費用関数 可変費用 固定費用 埋没費用 限界費用 平均費用（英語版） 供給関数（英語版） 規模の経済 範囲の経済 利潤最大化 均衡 エッジワース・ボックス・ダイアグラム 契約曲線（英語版） 需要と供給 均衡 一般均衡 部分均衡 パレート効率性 分析 社会的余剰 消費者余剰 生産者余剰 死荷重 厚生経済学の基本定理 ニュメレール（英語版） 等価変分（英語版） 補償変分（英語版） 失敗 市場の失敗 非対称情報 外部性 公共財
ゲーム理論	標準形ゲーム ナッシュ均衡 展開形ゲーム 部分ゲーム完全均衡 提携形ゲーム コア シャプレー値
契約理論	モラル・ハザード 逆選択 スクリーニング シグナリング 不完備契約（英語版）
関連分野	数理経済学 計算機経済学（英語版） 行動経済学 マクロ経済学のミクロ的基礎付け（英語版） 計量経済学 実験経済学 産業組織論 オペレーションズ・リサーチ 最適化理論 解析学 位相幾何学
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