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過剰数（かじょうすう、英: abundant number）とは、その約数の総和が元の数の 2 倍より大きい自然数のことである。この過剰数の定義は「その数自身を除く約数の総和が元の数より大きくなるような自然数」と同値である。

概要

例えば、 $20$ の約数の総和は $1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42 > 20 \times 2$ であるので（もしくは「 $20$ の自身を除く約数の総和は $1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22 > 20$ であるので」） $20$ は過剰数である。約数関数を用いると $σ(n) > 2 n を満たす n$ が過剰数である。過剰数は全て合成数で無数に存在し、そのうち最小の数は $12$ である。奇数の過剰数のうち最小の数は $945$ である（ $σ(945) = 1920 > 945 \times 2 = 1890$ ）。

過剰数を 12 から小さい順に列記すると

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102,...

となる。^[1]

過剰数もしくは完全数の倍数は全て過剰数であり、したがって偶数の過剰数も奇数の過剰数も無数に存在する。また、全ての擬似完全数は完全数もしくは過剰数である。ほとんどの過剰数は擬似完全数でもあり、そうでない過剰数は不思議数と呼ばれる。

約数の総和が元の数の 2 倍に1加えた数になる過剰数（即ち $σ(n) = 2 n + 1$ を満たす $n$ ）は準完全数と呼ばれる。この準完全数の定義は「その数の非自明な約数（1と自身を除いた約数）の総和が元の数と等しい自然数」と同値である。準完全数はいまだに見つかっておらず、もし存在するならば奇数の平方数で $1035$ より大きく、少なくとも 7 つの相異なる素因数を持つことが分かっている。

全ての自然数の集合に於いて過剰数が占める割合は $0.2474$ から $0.2480$ の間であると証明されている^[2]。

$20161$ より大きい整数は 2 つの過剰数の和で表すことができる。 2 つの過剰数の和で表すことが出来ない最大の偶数は $46$ である^[3]。

$20$ が過剰数なので、その倍数つまり下 2 桁が $00, 20, 40, 60, 80$ である数は全て過剰数となる。

過剰数か完全数の倍数ではない過剰数（即ちそれら自身以外のすべての約数が不足数の数）は、原始過剰数（英語版）と呼ばれる。

全ての過剰数は、完全数または原始過剰数の倍数である。

脚注

^ オンライン整数列大辞典の数列 A005101
^ Deléglise, Marc (1998). “Bounds for the density of abundant integers”. Experimental Mathematics 7 (2): 137–143. doi:10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127.
^ オンライン整数列大辞典の数列 A048242
^ オンライン整数列大辞典の数列 A023197
^ オンライン整数列大辞典の数列 A023198
^ オンライン整数列大辞典の数列 A023199

外部リンク

ウィキメディア・コモンズには、過剰数に関するメディアがあります。

Weisstein, Eric W. “Abundant Number”. mathworld.wolfram.com (英語).

[1] オンライン整数列大辞典の数列 A005101

[Del1998-2] Deléglise, Marc (1998). “Bounds for the density of abundant integers”. Experimental Mathematics 7 (2): 137–143. doi:10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127.

[3] オンライン整数列大辞典の数列 A048242

[4] オンライン整数列大辞典の数列 A023197

[5] オンライン整数列大辞典の数列 A023198

[6] オンライン整数列大辞典の数列 A023199

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表話編歴被整除性に基づいた整数の集合
概要	素因数分解約数単約数約数関数素因数算術の基本定理
因数分解による分類	素数合成数半素数矩形数楔数平方因子をもたない整数多冪数累乗数アキレス数滑らかな数（英語版）ハミング数（英語版）粗い数（英語版）異常数（英語版）
約数和による分類	完全数概完全数準完全数倍積完全数 Hemiperfect number（英語版）ハイパー完全数超完全数単完全数（英語版）擬似完全数プラクティカル数エルデシュ・ニコラス数（英語版）
約数が多いもの	過剰数原始過剰数（英語版）高度過剰数超過剰数巨大過剰数高度合成数優高度合成数（英語版）不思議数
アリコット数列関連	アンタッチャブル数（英語版）友愛数 (友愛三数（英語版）) 社交数婚約数
位取り記法に基づくもの	Equidigital number（英語版） Extravagant number（英語版） Frugal number（英語版）ハーシャッド数 Polydivisible number（英語版）スミス数
その他	Arithmetic number（英語版）不足数 Friendly number（英語版） Solitary（英語版）サブライム数調和数デカルト数（英語版）タウ数超完全数

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関連する数

関連項目

脚注

外部リンク

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