Klimov begon dankzij zijn moeder, die kunstschaatscoach in Sint-Petersburg was, met schaatsen.[1] Hoewel hij in eerste instantie niet geïnteresseerd was in paarrijden, maakte hij op zijn zestiende op advies van zijn moeder toch die overstap.[1] Klimov had twee eerdere schaatspartners gehad - onder wie Alexandra Malakhova - voor hij in de lente van 2009 gekoppeld werd aan Ksenia Stolbova. Bij hun enige twee deelnames aan de WK junioren won het paar brons (2010) en zilver (2011).
De Russische bond wilde Stolbova en Klimov in 2018 ook afvaardigen naar de Olympische Winterspelen in Pyeongchang, maar om een grootschalig dopingschandaal als in 2014 te voorkomen werden nu tal van sporters geweigerd. Ook Stolbova werd voor de Spelen niet uitgenodigd door het IOC.[2] Het paar sloeg daarop het WK over en kondigde later in het jaar aan helemaal te stoppen.[3]
