Spinn

Spinn i kvantemekanikken refererer til indre dreieimpuls for en partikkel som ikke skyldes dens egen bevegelse. I klassisk mekanikk oppstår det ved rotasjon om en akse gjennom tyngdepunktet. I kvanteemekanikken måles det i enheter av den reduserte Planck-konstanten ħ  og er angitt ved et kvantetall som vanligvis betegnes med bokstaven s. Typisk eksempel er elektronet som har s = 1/2 og fotonet med s = 1. De fleste atomkjerner har heltallig s = 0, 1, 2, ... eller halvtallig s = 1/2, 3/2, ... spinn og inneholder protoner og nøytroner. De har begge s = 1/2 og er igjen sammensatte partikler bestående av kvarker med spinn s = 1/2.

Partikler med heltallig spinn er bosoner som oppfyller Bose-Einstein statistikk. Dette er i motsetning til partikler med halvtallig spinn om er fermioner og må adlyde Pauli-prinsippet.

En partikkel med spinn har et magnetisk moment. Hvis dens spinn er gitt ved vektoren S, er dette

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=g{e \over 2m}\mathbf {S} }$

når den har elektrisk ladning e  og masse m. Her omtales størrelsen g  som partiklens «g-faktor». For elementærpartikler som elektroner og kvarker er denne tilnærmet lik med g = 2, mens protonet har en ganske annen verdi. Nøytronet har null elektrisk ladning, men har likevel et magnetisk moment. Det kan skrives på samme vis og skyldes kvarkene som det inneholder.

I den halv-klassiske Bohr-Sommerfeld-kvantisering til Niels Bohr og Arnold Sommerfeld måtte alle kvantetall være heltallige. Det kom derfor som en stor overraskelse da Alfred Landé i 1921 kunne delvis forklare den anomale Zeeman-effekten ved å anta at den orbitale dreieimpulsen for et elektron i et atom også kunne anta halvtallige verdier.

Året etter lanserte Werner Heisenberg som da var student, sin Rumpf-modell hvor et elektron med dreieimpuls kħ  kunne avgi ħ/2 til resten av atomet slik at det selv satt igjen med (k - 1/2)ħ. Han hadde ingen god forklaring av hvordan dette kunne skje. Men med denne antagelsen kunne Landé i 1923 konstruere en formel for g-faktoren til atomene som stemte med observasjonene.^[1]

På slutten av 1924 offentliggjorte Wolfgang Pauli et viktig arbeid hvor han viste at Heisenbergs Rumpf-modell ikke kunne være riktig. At et elektron i et atom kunne få en halvtallig verdi for dreieimpulsen, kunne ikke ha noe med resten av atomet å gjøre. Den egenskapen måtte tilhøre elektronet alene, og han mente at det måtte ha en slags dobbelthet. Denne nye egenskapen karakteriserte han med et nytt kvantetall med verdiene m_s = ±1/2 som opptrer i tillegg til kvantetallene ℓ og m_ℓ for vanlig, orbital dreieimpuls. Med denne nye antagelsen kunne han beholde de gode resultatene til Landé samtidig som den ga bedre forståelse av spektret till den karakteristiske røntgenstrålingen og oppbygningen av det periodiske system. Det var i denne sammenhengen han innførte sitt nye eksklusjonsprinsipp.^[2]

Tidlig på året 1925 møtte Pauli tilfeldigvis studenten Ralph Kronig i Tübingen og ble fortalt at dette nye kvantetallet måtte bety at elektronet hadde en egenrotasjon. Pauli avviste denne muligheten, sannsynligvis fordi det ville bety at punkter på elektronets overflate da måtte rotere med en hastighet raskere enn lyshastigheten. Kronig gjorde derfor ikke mer med dette forslaget.

Høsten samme år fikk Samuel Goudsmit og George Uhlenbeck samme idé. De kunne dermed forklare detaljer ved finstrukturen i energinivåene til hydrogenatomet. Elektronet har spinn s = 1/2 slik at når det befinner seg i en bane med orbital dreieimpuls ℓ, vil det få en total dreieimpuls med kvantetall

${\displaystyle j=\ell \pm 1/2}$

En matematisk beskrivelse av ikke-relativistiske partikler med spinn s = 1/2 utviklet Pauli i 1927. Den kalles for Paulii-ligningen og tilsvarer Schrödinger-ligningen for partikler med s = 0. Den kvantemekaniske spinnoperatoren kan da skrives som

${\displaystyle \mathbf {S} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}}$

hvor σ utgjør de tre Pauli-matrisene.^[3]

Ved etableringen av Dirac-ligningen året etterpå for partikler med vilkårlig høye hastighheter, ble det klart at elektronets spinn er en direkte konsekvens av Einsteins spesielle relativitetsteori.

Spinnet tiil en partikkel er gitt ved egenverdiene til en kvantemekanisk vektoroperator ${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}=({\hat {S}}_{x}.{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z}).}$ De tre komponentene kommuterer ikke med hverandre, men tilfredsstiller ${\displaystyle {\hat {S}}_{x}{\hat {S}}_{y}-{\hat {S}}_{y}{\hat {S}}_{x}=i\hbar {\hat {S}}_{z}}$ hvor ħ  er den reduserte Planck-konstanten. Sammen med to andre kommutatorer hvor indeksene er syklisk byttet om, kan de sammenfattes i den ene vektorproduktet

${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}\times {\hat {\mathbf {S} }}=i\hbar {\hat {\mathbf {S} }}}$

Egentilstandene for spinn kan skrives som ${\displaystyle |s,m_{s}\rangle }$ hvor kvantetallet s  kan ta en av verdiene 1/2, 1, 3/2 og så videre. Det angir størrelsen til det totale spinnet, mens m_s = (s, s - 1, s - 2, ..., -s) er egenverdien langs z-aksen,

${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}^{2}|s,m_{s}\rangle =\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle }$

${\displaystyle {\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle =\hbar \,m_{s}|s,m_{s}\rangle }$

Lineærkombinasjonene ${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}}$ er stigeoperatorer som forbinder disse 2s + 1 egenvektorene i en slik spinnmultiplett. Disse operatorene virker ifølge

${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}\,|s,m_{s}\pm 1\rangle }$

og kan benyttes til å representere spinnoperatorene som matriseer.^[4]

Ved addisjon av mange spinn s = 1/2, kan tilstander med vilkårlig høye spinn beregnes. Derfor har beskrivelsen av spinn-1/2 en spesiell viktig plass både i elementærpartikkelfysikken og i teoretisk fysikk mer generelt. Man har da å gjøre med bare to egenvektorer som kan skrives på flere forskjellige måter,

${\displaystyle |{\textstyle {\frac {1}{2}}},+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\rangle =|+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\rangle =|+\rangle =|\uparrow \rangle }$

${\displaystyle |{\textstyle {\frac {1}{2}}},-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\rangle =|-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\rangle =|-\rangle =|\downarrow \rangle }$

som er ortogonale ${\displaystyle \langle +|-\rangle =0}$ og hvor

${\displaystyle {\hat {S}}_{z}|\pm \rangle =\pm {\hbar \over 2}|\pm \rangle }$

Ved å kombinere to slike egentilstander kan man finne egenvektorer

${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{+}|\uparrow \rangle +\,\psi _{-}|\downarrow \rangle }$

for spinnet i vilkårlig andre retninger n tilsvarende operatoren ${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}\cdot \mathbf {n} .}$ Den har to komponenter ${\displaystyle \psi _{+}=\langle +|\psi \rangle }$ som kan fremstilles som en tokomponent spinor

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}=\psi _{+}\!\uparrow +\;\psi _{-}\!\downarrow }$

hvor de to basisspinorene er

${\displaystyle \uparrow \;={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad \downarrow \;={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.}$

Operatoren ${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$ kan da representeres ved den diagonale matrisen

${\displaystyle S_{z}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

På tilsvarende vis kan ${\displaystyle {\hat {S}}_{+}}$ fremstilles som en matrise fra dens definerende egenskaper ${\displaystyle {\hat {S}}_{+}|\downarrow \rangle =\hbar \,|\uparrow \rangle }$ og ${\displaystyle {\hat {S}}_{+}|\uparrow \rangle =0.}$ Det kan man gjøre på tilsvarende måte for ${\displaystyle {\hat {S}}_{-}}$ og man får

${\displaystyle S_{+}=\hbar {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad S_{-}=\hbar {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Herav kan man finne matrisene ${\displaystyle S_{x}}$ og ${\displaystyle S_{y}.}$ Resultatet er at alle spinnmatrisene kan skrives som de tre Pauli-matrisene (σ_x, σ_y, σ_z) multiplisert med ħ/2.

Når man adderer sammen to spinn S₁ og S₂ hver med spinn s = 1/2, vil det resulterende spinn bli enten s = 1 eller s = 0. Den høyeste tilstanden er

${\displaystyle |1,+1\rangle =|\uparrow \rangle |\uparrow \rangle }$

Ved å anvende senkeoperatoren ${\displaystyle {\hat {S}}_{-}={\hat {S_{1}}}_{-}+{\hat {S_{2}}}_{-}}$ på denne, genererer man to ny egentilstander med mindre egenverdier for ${\displaystyle {\hat {S}}_{z},}$

${\displaystyle |1,0\rangle ={\sqrt {1 \over 2}}{\big (}|\uparrow \rangle |\downarrow \rangle +|\downarrow \rangle |\uparrow \rangle {\big )}}$

${\displaystyle |1,-1\rangle =|\downarrow \rangle |\downarrow \rangle }$

Disse tre normerte tilstandene med s = 1 sies å utgjøre en «spinn triplett».^[3]

Av de opprinnelige fire tilstandene som legges sammen, er det én igjen. Det er kombinasjonen

${\displaystyle |0,0\rangle ={\sqrt {1 \over 2}}{\big (}|\uparrow \rangle |\downarrow \rangle -|\downarrow \rangle |\uparrow \rangle {\big )}}$

som har spinn s = 0 og er ortogonal til de tre andre. Det er en «spinn singlett».

Disse sammensatte tilstandene spiller en viktig rolle i mange forskjellige sammenhenger fra magnetisme til metaller, kjemiske bindinger av atomer og molekyler til kreftene som virker i atomkjernene.^[5]

• YouTube-video, What is Spin?
• HyperPhysics, Electron Spin