Dirac-ligning

Dirac-ligningen er en kvantemekanisk bølgeligning for en relativistisk partikkel med spinn s = 1/2. Den ble utledet av den engelske fysiker Paul Dirac i 1928. Ligningen er av grunnleggende betydning i kvantemekanikken og gjelder for alle fermioner som elektroner og kvarker i standardmodellen for elementærpartiklene.

Etter etableringen av den ikke-relativistiske Schrödinger-ligningen i 1926 ville Dirac finne en ny bølgeligning som både var i overenstemmelse med kvantemekanikkens prinsipper og Einsteins spesielle relativitetsteori. På den tiden var Klein-Gordon-ligningen kjent for relativistiske partikler, men denne ga ingen positiv sannsynlighetstetthet da den inneholdt andrederiverte med hensyn på tiden. Derfor ville Dirac finne en relativistisk ligning som kun inneholdt en slik førstederivert på samme måte som den vanlige Schrödinger-ligningen.

Den kompakte ligningen Dirac kom frem til, hadde flere egenskaper enn han hadde forventet. I tillegg til at den automatisk ga en forklaring på hvorfor elektronet har spinn-1/2, forenklet ligningen seg til Pauli-ligningen når det beveger seg ikke-relativistisk. Dermed forklarte den også hvorfor elektronet har et gyromagnetisk forhold som er g = 2. På samme måte ga den automatisk riktig spinn-banekobling for elektroner i atomer. En eksakt løsning av ligningen for hydrogenatomet som forklarte alle aspekt av dets finstruktur, ble funnet i 1928 av Walter Gordon.

Selv om Dirac i begynnelsen ikke forsto betydningen av at ligningen også gir løsninger med negativ energi, innså han likevel etter hvert at disse tilsvarer antipartikler. På samme måte som den relativistiske Klein-Gordon-ligningen beskriver partikler og deres antipartikler med spinn s = 0, er Dirac-ligningen også en bølgeligning for et tilsvarende Dirac-felt for elementære partikler med spinn s = 1/2. Sammen med Maxwell-feltet ble det snart forent i moderne kvanteelektrodynamikk. I ettertid er det blitt sagt at ligningen var mer intelligent enn Dirac selv.^[1]

Den ikke-relativistiske Schrödinger-ligningen inneholder den tidsderiverte ∂/∂t til første orden og er direkte forbundet med energien til partikkelen. Ifølge den spesielle relativitetsteori er tiden bare én av fire retninger i tidrommet som kan transformeres over i hverandre. En relativistisk invariant bølgeligning må være uavhengig av slike transformasjoner. Dirac ville derfor komme frem til en kvantemekanisk bølgeligning som også er lineær i de romlige deriverte ∂/∂x, ∂/∂y og ∂/∂z. På samme måte som for Schrödinger-ligningen, betyr det at den må inneholde impulsoperatoren ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}}$ til første orden der ħ  er den reduserte Planck-konstanten. Denne argumentasjonen førte Dirac til ligningen

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left({\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}c+\beta mc^{2}\right)\!\psi }$

der c er lyshastigheten og ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{x},\alpha _{y},\alpha _{z})}$ samt ${\displaystyle \beta \,}$ er fire 4×4 hermitiske matriser. De må oppfylle kravene

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}&=2\delta _{ij}\\\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}&=0\end{aligned}}}$

der ${\displaystyle \delta _{ij}}$ er Kronecker-delta med verdiene 1 eller 0 avhengig av om indeksene er like eller forskjellige. I tillegg må ${\displaystyle \beta ^{2}=1}$ som også er verdien av kvadratene til de tre ${\displaystyle \alpha }$-matrisene. Bølgefunksjonen ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {x} ,t)}$ er her en 4-komponent kolonnevektor da disse matrisene alle har dimensjon 4×4. Den kalles vanligvis for en «Dirac-spinor».^[2]

Formen til Dirac-ligningen er bestemt av at den skal bekskrive en relativistisk partikkel. Har den en masse m, må dens energi E  og impuls p være forbundet med hverandre ved relasjonen

${\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$

Den ønskede bølgeligningen tilsvarer nå å kunne uttrykke denne energien på den lineære formen

${\displaystyle E={\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} c+\beta mc^{2}}$

hvor ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{x},\alpha _{y},\alpha _{z})}$ og ${\displaystyle \beta \,}$ i utgangspunktet er ukjente størrelser. De kan ikke være reelle eller komplekse tall, men muligens matriser. For eksempel har Pauli-matrisene ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ egenskapen at

${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} )^{2}=p^{2}}$

Ved å ta kvadratroten av denne sammenhengen, har man dermed at ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} =p}$. Da en partikkel med masse m = 0 har energi E = pc, kan dette benyttes til å gi en relativistisk bølgeligning som er lineær både i ∂/∂t  og ∇. Det er Weyl-ligningen for et masseløst fermion med spinn-1/2.^[3]

For en massiv partikkel finner man på tilsvarende vis ved å betrakte ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ og ${\displaystyle \beta \,}$ som ikke-kommuterende matriser, at

${\displaystyle {\begin{aligned}E^{2}&=(\alpha _{i}p_{i}c+\beta mc^{2})(\alpha _{j}p_{j}c+\beta mc^{2})\\&=\alpha _{i}\alpha _{j}p_{i}p_{j}c^{2}+(\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i})p_{i}mc^{3}+\beta ^{2}m^{2}c^{4}\end{aligned}}}$

når man gjør bruk av Einsteins summekonvensjon og summerer over par med like indekser. Ved å benytte at ${\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}p_{i}p_{j}=\alpha _{j}\alpha _{i}p_{i}p_{j}}$ da p_i og p_j kommuterer med hverandre, gir dette betingelsene de fire Dirac-matrisene må oppfylle. De skrives vanligvis på formen

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\\{\boldsymbol {\sigma }}&0\end{pmatrix}},\quad \beta ={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}}$

hvor I  i β-matrisen står for en 2×2 enhetsmatrise. Slike enhetsmatriser blir vanligvis ganske enkelt skrevet som 1 så lenge det ikke kan oppstå misforståelser.^[4]

Dirac-ligningen kan skrives på samme form som den tidsavhengige Schrödinger-ligningen

${\displaystyle i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={\hat {H}}\psi }$

hvor nå

${\displaystyle {\hat {H}}={\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}c+\beta mc^{2}}$

er Hamilton-operatoren for den relativistiske partikkelen. Posisjonen er gitt ved en vektoroperator ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ med komponenter som har en fundamental kommutator med komponentene til den konjugerte impulsoperatoren ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}.}$ Den har den kanoniske formen

${\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \,\delta _{ij}}$

Da Hamilton-operatoren er uavhengig av posisjonen x, er derfor impulsen til partikkelen konstant. Derimot sier Heisenbergs bevegelsesligning at

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}{\hat {x}}_{k}=[{\hat {x}}_{k},{\hat {H}}]}$

ikke er null slik at partikkelens posisjon forandrer seg med tiden. Uavhengig av dens impuls har den en bevegelse gitt ved ${\displaystyle d{\hat {\mathbf {x} }}/dt=c{\boldsymbol {\alpha }}.}$ Dette kan bare tolkes som at en Dirac-partikkel alltid har en hastighet som i størrelse er gitt ved lyshastigheten. Fenomenet kalles for «sitterbevegelse» og har vært mye diskutert. En Klein-Gordon-partikkel har en mer normal sammenheng mellom impuls og hastighet.^[5]

En fri Dirac-partikkel har heller ikke en konstant dreieimpuls ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} .}$ Skriver man dens komponenter ved hjelp av Levi-Civita-symbolet som ${\displaystyle L_{k}=\varepsilon _{kij}x_{i}p_{j},}$ følger det på samme vis fra

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}{\hat {L}}_{k}=[{\hat {L}}_{k},{\hat {H}}]=i\hbar \,\varepsilon _{kij}\alpha _{i}{\hat {p}}_{j}c}$

som mer kompakt betyr at ${\displaystyle d{\hat {\mathbf {L} }}/dt={\boldsymbol {\alpha }}\times {\hat {\mathbf {p} }}c.}$ Formen på dette resultatet tilsier å innføre de utvidete Pauli-matrisene

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}&0\\0&{\boldsymbol {\sigma }}\end{pmatrix}}}$

som har dimensjon 4×4. I dette Heisenberg-bildet vil de variere ifølge

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {d \over dt}\Sigma _{k}&=[\Sigma _{k},{\hat {H}}]=[\Sigma _{k},\alpha _{i}{\hat {p}}_{i}c]\\&=[\Sigma _{k},\alpha _{i}]\,{\hat {p}}_{i}c=2i\varepsilon _{kij}\alpha _{j}{\hat {p}}_{i}c\end{aligned}}}$

når man benytter kommutatoren ${\displaystyle \left[\sigma _{k},\sigma _{i}\right]=2i\varepsilon _{kij}\sigma _{j}}$ mellom de vanlige Pauli-matrisene. Det betyr at den tidsderiverte av operatoren ${\displaystyle {\hat {L}}_{k}+(\hbar /2)\Sigma _{k}}$ er null. Derfor er den totale dreieimpulsen

${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hbar \over 2}{\boldsymbol {\Sigma }}}$

bevart for en fri Dirac-partikkel. Av denne grunn har den spinn s = 1/2 hvor den indre dreieimpulsen (ħ/2)Σ har samme årsak som partikkelens sitterbevegelse.^[4]

Dirac-spinoren ${\displaystyle \psi }$ er en kolonnevektor med fire komponenter som alle kan være komplekse. Den adjungerte spinoren blir dermed radvektoren ${\displaystyle \psi ^{\dagger }=(\psi _{1}^{*},\psi _{2}^{*},\psi _{3}^{*},\psi _{4}^{*}).}$ Da Hamilton-operatoren skal være hermitisk, må også matrisene ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ og ${\displaystyle \beta \,}$ være det. Den kompleks-transponerte av Dirac-ligningen blir dermed

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\dagger }}{\partial t}}=ci\hbar {\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{\dagger }\cdot {\boldsymbol {\alpha }}+mc^{2}\beta \psi ^{\dagger }}$

om omtales vanligvis som den «hermetisk adjungerte» ligningen.

Multipliseres denne med ${\displaystyle \psi }$ fra høyre og trekkes så fra den opprinnelige Dirac-ligningen multiplisert med ${\displaystyle \psi ^{\dagger }}$ fra venstre, fremkommer

${\displaystyle i\hbar \left(\psi ^{\dagger }{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\partial \psi ^{\dagger }}{\partial t}}\psi \right)=-i\hbar c[\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi +({\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{\dagger })\cdot {\boldsymbol {\alpha }}\psi ]}$

Ved å definere den skalare størrelsen ${\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi \;}$ og vektoren ${\displaystyle \mathbf {J} =c\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \,}$ kan denne sammenhengen skrives mer kompakt som en kontinuitetsligningen

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}$

Den viser at ${\displaystyle \rho \;}$ kan betraktes som en positiv sannsynlighetstetthet for bølgefunksjonen ${\displaystyle \psi }$ på samme måte som for Schrödinger-ligningen. Da er ${\displaystyle \mathbf {J} \;}$ den tilsvarende sannsynlighetsstrømmen som formelt inneholder hastigheten ${\displaystyle \mathbf {v} =c{\boldsymbol {\alpha }}\,}$ til partikkelen.^[5]

Når Dirac-partikkelen har en elektrisk ladning q, kan den koble til både et elektrisk potensial V  og et magnetiske potensialet A. Dette må gjøres på en slik måte at vekselvirkningen blir invariant under gaugetransformasjoner. I praksis betyr det å gjøre bruk av de minimale substitusjonene

${\displaystyle {\hat {H}}\rightarrow {\hat {H}}-qV,\quad {\hat {\mathbf {p} }}\rightarrow {\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} }$

som også benyttes for en Klein-Gordon-partikkel. Det gir Hamilton-operatoren

${\displaystyle {\hat {H}}=c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot ({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )+qV+\beta mc^{2}}$

for en Dirac-partikkel i et generelt, elektromagnetisk felt.^[4]

For en partikkel med med en viss energi E, kan Dirac-spinoren skrives som

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }}$

hvor den tidsuavhengige delen er en løsning av egenverdiproblemet ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi .}$ Dette kan løses ved å foreta opp oppsplittingen

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\begin{pmatrix}\phi \\\chi \end{pmatrix}}}$

som gir de to koblede ligningene

${\displaystyle {\begin{aligned}(E-qV-mc^{2})\phi &=c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )\chi \\(E-qV+mc^{2})\chi &=c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )\phi \end{aligned}}}$

som er generelt gyldige.

Når partikkelen beveger seg mye langsommere enn lyshastigheten, er dens totale energi E = mc² + E_NR  hvor E_NR << mc² er den ikke-relativistiske delen. Den nedre komponenten ${\displaystyle \chi }$ av Dirac-spinoren er da mye mindre enn den øvre komponenten ${\displaystyle \phi }$ og kan beregnes fra denne. I denne grensen har man da tilnærmet at

${\displaystyle {1 \over E-qV+mc^{2}}={1 \over 2mc^{2}}-{E_{NR}-qV \over 4m^{2}c^{4}}+\cdots }$

Ved kun å beholde det første leddet i denne ekspansjonen, har man dermed

${\displaystyle \chi ={1 \over 2mc}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )\phi }$

Innsatt i den øvre ligningen, finner man da at den største delen av Dirac-spinoren må tilfredsstille

${\displaystyle \left[{1 \over 2m}[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )]^{2}+qV\right]\!\phi (\mathbf {r} )=E_{NR}\phi (\mathbf {r} )}$

Dette er den tidsuavhengige Pauli-ligningen for en spinn-1/2 partikkel. Den viser at Dirac-partikkelen har et gyromagnetisk forhold g = 2. Hvis man hadde tatt med neste ledd i denne ikke-relativistiske rekkeutviklingen, ville også spinn-banekoblingen fremkomme i den effektive Hamilton-operatoren.^[6]

Hvis man multipliserer Dirac-ligningen med ${\displaystyle \beta }$ fra venstre, kan den omformes til

${\displaystyle i\hbar \left(\beta {\frac {\partial }{\partial t}}+c\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right)\!\psi (\mathbf {r} ,t)=mc^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)}$

Den kan nå skrives på kovariant form i det firedimensjonale tidrommet. Benytter man den metriske tensor η_μν med diagonale komponenter (1,-1,-1,-1) og koordinater x^μ = (ct, r), blir da

${\displaystyle (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi (x)=0}$

når man gjør bruk av Einsteins summekonvensjon. Her er ${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial {x^{\mu }}=(\partial /\partial {ct},{\boldsymbol {\nabla }})}$ den kovariante gradientoperatoren og ${\displaystyle \gamma ^{\mu }=(\beta ,\beta {\boldsymbol {\alpha }})}$ er modifiserte Dirac-matriser. De oppfyller nå

${\displaystyle \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }=2\eta _{\mu \nu }}$

med hermitisk adjungerte ${\displaystyle \gamma _{\mu }^{\dagger }=\gamma _{0}\gamma _{\mu }\gamma _{0}.}$ Fra de opprinnelige ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$- og ${\displaystyle \beta }$-matrisene er da

${\displaystyle \gamma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {\gamma }}={\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}&0\end{pmatrix}}}$

Ved å definere den Dirac-adjungerte spinoren som

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)=\psi ^{\dagger }(x)\gamma _{0},}$

kan sannsynlighetsstrømmen utvides til en firevektor ${\displaystyle J^{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi =(c\rho ,\mathbf {J} )}$ med en kovariant divergens ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0.}$

Beskrivelsen av relativistiske partikler er litt enklere når man benytter måleenheter hvor lyshastigheten c = 1. En fri partikkel har da en 4-impuls ${\displaystyle p^{\mu }=(p_{0},\mathbf {p} )}$ der dens energi ${\displaystyle p_{0}=\pm E}$ er gitt ved massebetinelsen

${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p^{2}=p_{0}^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}}$

og kan være både positiv og negativ. Dirac-spinoren for en fri partikkel med positiv energi har da form som en plan bølge

${\displaystyle \psi (x)=u(p)e^{-ip\cdot x/\hbar }}$

der formen til impulsspinoren u (p) er bestemt av Dirac-ligningen. Den gir nå

${\displaystyle (p\!\!\!/-m)u(p)=0}$

når man benytter Feynmans slashnotasjon ${\displaystyle p\!\!\!/:=p^{\mu }\gamma _{\mu }}$ som gir mer kompakte formler.^[7] Ved å splitte spinoren opp i store og små komponenter, er nå disse bestemt ved matriseligningen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{0}-m&-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} &-p_{0}-m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\phi \\\chi \end{pmatrix}}=0}$

Da nå ${\displaystyle p_{0}=+E,}$ kan de små komponentene finnes fra

${\displaystyle \chi ={{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} \over E+m}\phi }$

Dermed tar den fulle impulsspinoren formen

${\displaystyle u(+E,\mathbf {p} )=A{\begin{pmatrix}1\\{{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} \over E+m}\end{pmatrix}}\phi }$

hvor A  er en normeringskonstant og den nøyaktige formen til 2-komponentspinoren ${\displaystyle \phi }$ er bestemt av spinnretningen til partikkelen.^[6]

Når både partikkelens energi ${\displaystyle p_{0}=-E}$ og 3-impuls er negative, er den tilsvarende løsningen

${\displaystyle u(-E,-\mathbf {p} )=B{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} \over E+m}\\1\end{pmatrix}}\chi }$

der B  igjen er en normeringskonstant. Denne impulsspinoren for negative energier betegnes vanligvis ${\displaystyle v(p)}$ og kan også finne fra matriseligningen

${\displaystyle (p\!\!\!/+m)v(p)=0}$

der nå ${\displaystyle p^{\mu }=(E,\mathbf {p} ).}$ Ved å la Dirac-spinoren ${\displaystyle \psi (x)}$ ikke lenger betegne en èn-partikkel bølgefunksjon, men et relativistisk kvantefelt, vil disse spinorløsningene med negativ energi beskrive antipartikler.^[3]

Bølgefunksjonen ${\displaystyle \psi (x)=u(p)e^{-ip\cdot x/\hbar }}$ for en fri Dirac-partikkel kan normeres på flere forskjellige vis. Mest hensiktsmessig er at dette blir gjort på den samme, kovariante måten som for relativistiske Klein-Gordon-partikler. Da definerer man et indreprodukt mellom to slike funksjoner basert på integralet over ladningstettheten ${\displaystyle J_{0}=\psi ^{\dagger }\psi .}$ Det gir normeringen

${\displaystyle {\begin{aligned}(\psi ,\psi ')&=\int \!d^{3}x\,\psi ^{\dagger }(x)\psi '(x)\\&=u^{\dagger }(p)u(p)\int \!d^{3}x\,e^{i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\cdot \mathbf {x} /\hbar }\end{aligned}}}$

som man da vil skal ha verdien

${\displaystyle (\psi ,\psi ')=2E(2\pi \hbar )^{3}\delta ({\mathbf {p} -\mathbf {p} '})}$

Det betyr at Dirac-spinorene må være normert slik at

${\displaystyle u^{\dagger }(p)u(p)=v^{\dagger }(p)v(p)=2E}$

En direkte utregning gir nå normeringskonstantene ${\displaystyle A=B={\sqrt {E+m}}}$ når 2-komponentspinorene som angir spinnretningen, er normert som ${\displaystyle \phi ^{\dagger }\phi =\chi ^{\dagger }\chi =1.}$ De relativistiske spinorene tar dermed den endelige formen

${\displaystyle u_{s}(p)={\sqrt {E+m}}{\begin{pmatrix}1\\{{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} \over E+m}\end{pmatrix}}\phi _{s}}$

${\displaystyle v_{s}(p)={\sqrt {E+m}}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} \over E+m}\\1\end{pmatrix}}\chi _{s}}$

hvor indeksen s = 1,2 avhengig av om partikkelen har spinn opp eller ned. Denne normeringen betyr også at indreproduktet

${\displaystyle {\bar {u}}(p)u(p)=-{\bar {v}}(p)v(p)=2m}$

er som forventet en Lorentz-skalar.^[8]

For beregning av Feynman-diagram med Dirac-partikler opptrer også ofte produktene

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{s}u_{s}(p){\bar {u}}_{s}(p)=p\!\!\!/+m\\&\sum _{s}v_{s}(p){\bar {v}}_{s}(p)=p\!\!\!/-m\end{aligned}}}$

Begge sidene av disse ligningene er nå 4×4 matriser.

Den fundamentale antikommutatoren

${\displaystyle \{\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }\}:=\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }=2\eta _{\mu \nu }}$

mellom de elementære Dirac-matrisene betyr at deres kvadrat er enten +1 eller -1. I tillegg skifter produktet av to av dem fortegn ved at faktorene ombyttes. Det betyr at man maksimalt kan multiplisere sammen fire forskjellige slike matriser. Dette spesielle produktet er

${\displaystyle \gamma _{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=i\gamma _{0}\gamma _{x}\gamma _{y}\gamma _{z}}$

hvor i = √-1 er tatt med for å gjøre denne matrisen selvadjungert, ${\displaystyle \gamma _{5}=\gamma _{5}^{\dagger }.}$ I tillegg er da ${\displaystyle \gamma _{5}\gamma _{\mu }+\gamma _{\mu }\gamma _{5}=0}$ og ${\displaystyle \gamma _{5}^{2}=1.}$ Med den representasjonen av gammamatrisene som tidligere er brukt, er

${\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

Her inngår matriseelementene 1 som i virkeligheten er 2×2 enhetsmatriser.

Matrisen ${\displaystyle \gamma _{5}}$ består av et produkt av fire elementære matriser og er et eksempel på en «utvidet Dirac-matrise». Alle har dimensjon 4×4 og det kan derfor maksimalt finnes 2⋅4² = 32 slike matriser da de kan inneholde komplekse element. Men den fundamentale antikommutatoren utgjør 4² = 16 reelle betingelser. Det finnes derfor i alt 32 - 16 = 16 utvidete Dirac-matriser.^[3]

Enhetsmatrisen og ${\displaystyle \gamma _{5}}$ utgjør sammen med de fire elementære Dirac-matrisene til sammen 2 + 4 = 6 matriser. Mens ${\displaystyle \gamma _{5}}$ består av et produkt med fire elementære matriser, kan man lage fire forskjellige produkt med tre elementære matriser. Tilsammen kan disse fire matrisene grupperes som ${\displaystyle \gamma _{5}\gamma _{\mu }.}$

Produktet av to elementære matriser kan splittes opp som

${\displaystyle \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }={1 \over 2}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })+{1 \over 2}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })}$

Her er det siste leddet proporsjonalt med en 4×4 enhetsmatrise, mens det første kan uttrykkes ved den antisymmetriske kombinasjonen

${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }={i \over 2}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]:={i \over 2}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })}$

Det er i alt 4⋅3/2 = 6 slike matriser. Dermed har man funnet alle de 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 utvidete Dirac-matrisene.

En løsning av Dirac-ligningen med negativ energi er vanskelig å forstå. Da ville for eksempel en partikkel med positiv energi kunne gå over til en med negativ energi under utsendelse av et foton med. Desto mer negativ energien er, desto større energi ville fotonet få. Man kunne på dette vise skape en uendelig stor energikilde. Man kunne alternativt definere slike løsninger som ikke-fysiske og se bort fra dem. Da ville man unngå dette energiproblemet, men ville i stedet ha en ligning som ikke lenger var matematisk konsistent.

Ved å gjøre bruk av Paulis eksklusjonsprinsipp som gjelder for elektroner, foreslo Dirac i 1930 at vi befinner oss i en sjø av elektroner hvor alle kvantetilstander med negativ energi er besatt. Selv om den virker veldig lite intuitiv og ville fylle verden med negativ ladning, ville den løse energiproblemet ved at et elektron med positiv energi ikke lenger kan gå over til en tilstand med negativ energi da alle disse tilstandene er okkuperte.

Men med dette bildet av det kvantemekaniske vakuumet, kan nye prosesser opptre. Et foton med energi større enn 2mc² kan eksitere et elektron i sjøen med negativ energi til å bli et vanlig elektron med positiv energi. Dermed dannes det et hull i sjøen. Da fraværet av noe negativt er positivt, vil et slikt hull opptre som en ny type partikkel med positiv energi og positiv elektrisk ladning. Et slikt hull ville vekselvirke med andre elektroner i sjøen og dermed få en større masse enn det vanlige elektronet. Dirac mente at han dermed også hadde en teori som forklarte eksistensen av protonet.^[9]

Allerede samme år påpekte Robert Oppenheimer at dette forslaget ikke kunne være riktig. Det ville bety at elektronet i et hydrogenatom kunne annihilere protonet ved at elektronet faller ned i den tilsvarende tilstanden med negativ energi ved utsendelse av to fotoner, e + p → γ + γ. Dette ville skje så raskt at atomet ville bli ustabilt. Dirac måtte akseptere at den eneste logiske konsekvens var at det måtte eksistere en annen partikkel med positiv ladning, men ellers med de samme egenskapene som elektronet. Dirac kalte den for et anti-elektron. Akkurat en slik partikkel ble oppdaget av Carl David Anderson i 1932. Han ga den navnet positron da den var et positivt elektron.^[10]

Moderne kvantefeltteori ble etablert omtrent på samme tid. Der finner løsninger med negativ energi en naturlig plass som antipartikler uten at det må begrunnes med en Dirac-sjø. Dette ble spesielt klart ved kvantisering av Klein-Gordon-feltet som beskriver spinn-0 partikler og ikke oppfyller noen form for eksklusjonsprinsipp. Likevel beskriver denne teorien også antipartikler. Wolfgang Pauli kunne derfor spøke med at dette var en «anti-Dirac teori».^[1]

Dirac-sjøen fikk en gjenoppstandelse i forbindelse med utviklingen av halvledere. De inneholder forskjellige ledningsbånd med tilllatte elektrontilstander. Her kan oppstå vakanser eller hull som opptrer som positive ladningsbærere.^[11]

Da Dirac-ligningen beskriver både partikler og deres antipartikler, kan den vanligvis ikke betraktes som en kvantemekanisk bølgeligning for en enkelt partikkel. Derimot må den betraktes som feltligningen for Dirac-feltet ${\displaystyle \psi (x)}$ som beskriver spinn-1/2 fermioner. Det tilsvarer at Klein-Gordon-ligningen for skalarfeltet ${\displaystyle \phi (x)}$ er feltligningen for spinn-0 bosoner.

På samme måte som feltteorien for ikke-relativistiske fermioner, må Lagrange-tettheten for et fritt Dirac-felt være

${\displaystyle {\cal {L}}=i\hbar \psi ^{\dagger }{\dot {\psi }}+i\hbar \psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi -m\psi ^{\dagger }\beta \psi }$

der ${\displaystyle {\dot {\psi }}=\partial \psi /\partial t.}$ Her er spinoren ${\displaystyle \psi }$ en kolonnematrise med fire komponenter ${\displaystyle \psi _{\alpha }.}$ Tilsvarende er den adjungerte spinoren ${\displaystyle \psi ^{\dagger }}$ en rekkematrise med fire komponenter ${\displaystyle \psi _{\alpha }^{*}.}$ Da er for eksempel ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi =\psi _{\alpha }^{*}\psi _{\alpha }}$ der man bruker Einsteins summekonvensjon og summerer over de to like indeksene på høyre side.

Den resulterende Euler-Lagrange-ligningen for ${\displaystyle \psi ^{\dagger }}$ gir nå Dirac-ligningen

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-i\hbar {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi +\beta m\psi }$

Ved bruk av den kovariante formalismen for en slik relativistisk teori der gradienten er ${\displaystyle \partial _{\mu }=(\partial /\partial t,{\boldsymbol {\nabla }}),}$ tar ligningen den mer kompakte formen ${\displaystyle (i\hbar \partial \!\!\!/-m)\psi =0.}$ På samme måte blir da Lagrange-tettheten

${\displaystyle {\cal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar \partial \!\!\!/-m)\psi }$

som viser tydelig at den er en Lorentz-skalar.^[8]

Feltet har også en konjugert impuls som er

${\displaystyle \Pi _{\alpha }={\partial {\mathcal {L}} \over \partial {\dot {\psi }}_{\alpha }}=i\hbar \psi _{\alpha }^{*}}$

Den behøves for å beregne energien i feltet og kan finnes fra Hamilton-tettheten

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {H}}&={\dot {\psi }}\Pi -{\cal {L}}\\&=-i\hbar \psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi +m\psi ^{\dagger }\beta \psi \end{aligned}}}$

Etter kvantisering av feltet vil den gi dets Hamilton-operator.

Relativistiske fermioner må oppfylle Paulis eksklusjonsprinsipp. Det betyr at når Dirac-feltet kvantiseres og blir en feltoperator ${\displaystyle \psi \rightarrow {\hat {\psi }}}$, må det gjøres ved bruk av antikommutatorer på samme måte som for ikke-relativistiske fermioner. Da må

${\displaystyle \left\{{\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t),{\hat {\Pi }}(\mathbf {x'} ,t)\right\}=i\hbar \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$

som betyr at komponentene av feltoperatoren oppfyller den fundamentale antikommutatoren

${\displaystyle \left\{{\hat {\psi }}_{\alpha }(\mathbf {x} ,t),{\hat {\psi }}_{\beta }^{\dagger }(\mathbf {x'} ,t)\right\}=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )\delta _{\alpha \beta }}$

Det kan gjøres ved å innføre kreasjon og annihilasjonsoperatorer for Dirac-partiklene og deres antipartikler på samme måte som for Klein-Gordon-feltet. Først blir derfor det klassiske feltet uttrykt ved løsninger av den frie Dirac-ligningen ved en firedimensjonal Fourier-transformasjon,

${\displaystyle \psi (x)=\int \!{d^{4}p \over (2\pi \hbar )^{4}}\sum _{s=1,2}2\pi \hbar \delta (p^{2}-m^{2})c_{s}(p)u_{s}(p)\,e^{-ip\cdot x/\hbar }}$

hvor firevektoren ${\displaystyle p^{\mu }=(p_{0},\mathbf {p} )}$ slik at ${\displaystyle p\cdot x=p_{0}t-\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }$ og deltafunksjonen opptrer fordi feltet skal beskrive partikler med masse m. Den kan splittes opp som

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta (p^{2}-m^{2})&=\delta (p_{0}^{2}-E^{2})\\&={1 \over 2E_{\mathbf {p} }}\left[\delta (p_{0}-E)+\delta (p_{0}+E)\right]\end{aligned}}}$

hvor ${\displaystyle E={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}c^{2}}}}$ er den relativistiske energien til en partikkel med impuls p. Den firedimensjonale Fourier-transformasjonen splittes dermed opp i to tredimensjonale transformasjoner. Feltoperatoren tar formen

${\displaystyle {\hat {\psi }}(x)=\int \!{d^{3}p \over 2E(2\pi \hbar )^{3}}\sum _{s=1,2}\left[{\hat {c}}_{s}(p)u_{s}(p)\,e^{-ip\cdot x/\hbar }+{\hat {d}}_{s}^{\dagger }(p)v_{s}(p)\,e^{ip\cdot x/\hbar }\right]}$

etter man i det siste leddet har latt ${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} .}$ og latt Fourier-komponentene bli antikommuterende operatorer bortsett fra

${\displaystyle \left\{{\hat {c}}_{s}(p),{\hat {c}}_{s'}^{\dagger }(p')\right\}=\left\{{\hat {d}}_{s}(p),{\hat {d}}_{s'}^{\dagger }(p')\right\}=2E(2\pi \hbar )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\delta _{ss'}}$

Her vil nå ${\displaystyle {\hat {c}}_{s}^{\dagger }(p)}$ skape en partikkel, mens ${\displaystyle {\hat {c}}_{s}(p)}$ vil fjerne den. Det samme gjelder for antipartikler med ${\displaystyle {\hat {d}}_{s}^{\dagger }(p)}$ og ${\displaystyle {\hat {d}}_{s}(p).}$ I denne fremstillingen er det en konsekvens av definisjonen ${\displaystyle {\hat {c}}(-p)={\hat {d}}^{\dagger }(p).}$ Den er i overensstemmelse med Diracs innføring av en uendelig stor «Dirac-sjø» der man ved å fjerne en partikkel med negativ energi, skaper en antipartikkel med positiv energi.^[8]

Ved hjelp av disse feltoperatorene kan Hamilton-operatoren for Dirac-feltet finnes. På samme måte som for Klein-Gordon-partikler vil den da uttrykkes ved de sammensatte operatorene ${\displaystyle {\hat {c}}_{s}^{\dagger }{\hat {c}}_{s}}$ og ${\displaystyle {\hat {d}}_{s}^{\dagger }{\hat {d}}_{s}}$ som teller opp antall partikler og antipartikler som finnes i forskjellige tilstander. Det kommer spesielt tydelig frem når man beregninger operatoren for total, elektrisk ladning i feltet. Den blir

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {Q}}&=e\!\int \!d^{3}x\,{\hat {\psi }}^{\dagger }(x){\hat {\psi }}(x)\\&=e\!\int \!{d^{3}p \over 2E_{\mathbf {p} }(2\pi \hbar )^{3}}\sum _{s=1,2}\left({\hat {c}}_{s}^{\dagger }(p){\hat {c}}_{s}(p)-{\hat {d}}_{s}^{\dagger }(p){\hat {d}}_{s}(p)\right)\end{aligned}}}$

som viser at partikler og deres antipartikler opptrer med motsatt ladning.

• P.A.M. Dirac, Theory of electrons and positrons, Nobel prize lecture (1933).
• P.A.M. Dirac, The history of the positron, video lecture given by Dirac (1975).
• B. Simons, Relativistic Quantum Mechanics, lecture at Cambridge University (2009).
• University of Alberta, Dirac equation, web pages