Pauli-ligning

Pauli-ligningen ble stilt opp av Wolfgang Pauli i 1927 og er en utvidelse av Schrödinger-ligningen. Den beskriver partikler med spinn s = 1/2 som beveger seg mye langsommere enn lyshastigheten. I et magnetfelt gir den opphav til en kobling som ikke finnes i klassisk mekanikk. For elektronet tilsvarer dette et magnetisk moment med et gyromagnetisk forhold som er g_e = 2 med god nøyaktighet. Denne egenskapen ble tydelig demonstrert i Stern-Gerlach eksperimentet.

Arbeidet til Pauli ga den første, matematiske beskrivelse av spinn-1/2 partikler i kvantemekanikken. Det inneholdt også en utledning av Pauli-matrisene som senere har fått stor betydning i mange andre sammenhenger.

Ligningen til Pauli kan avledes som en approksimasjon til Dirac-ligningen ved lave hastigheter. Når elektronet beskrives ved denne relativistiske ligningen slik den inngår i kvanteelektrodynamikken, kan dets g-faktor beregnes med meget stor nøyaktighet i full overensstemmelse med alle eksperiment.

Bølgefunksjonen som inngår i Schrödinger-ligningen for én partikkel, er en kompleks, skalar funksjon ψ(r,t). Når partikkelen har spinn s = 1/2, må den beskrives ved en spinor

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{+}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-}(\mathbf {r} ,t)\end{pmatrix}}}$

hvor begge komponentene er komplekse funksjoner. Av denne grunn vil Hamilton-operatoren H  i den tidsavhengige Schrödinger-ligningen

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}\psi (\mathbf {r} ,t)=H\psi (\mathbf {r} ,t)}$

være en hermitisk, 2 × 2 matrise. Enhver slik matrise kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av Pauli-matriser. På denne måten oppstår Pauli-ligningen.^[1]

For en fri partikkel med masse m  må Hamilton-operatoren forenkles til H = p²/2m  der impulsen er derivasjonsoperatoren p = - iħ ∇. Hvis partikkelen i tillegg har en potensiell energi V(r), kan man nå skrive

${\displaystyle H={1 \over 2m}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} )^{2}+V(\mathbf {r} )}$

der spinnvektoren σ = (σ_x, σ_y, σ_z). Pauli-matrisene har den spesielle egenskapen at (σ⋅p)² = p². Det betyr at hver komponent til spinoren i dette tilfellet vil utvikle seg uavhengig av den andre som om partikkelen ikke hadde noe spinn.

Når partikkelen har en elektrisk ladning, kan den koble til elektromagnetiske felt. De kan uttrykkes ved et elektrisk potensial ${\displaystyle \Phi }$ samt et vektorpotensial som gir magnetfeltet ${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}$ Kravet om invarians under gaugetransformasjoner medfører da at en partikkel med elektrisk ladning e  har en magnetisk kobling til feltet som kan finnes ved substitusjonen ${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} -e\mathbf {A} .}$ Det samme kravet om gaugeinvarians gjelder også i kvantemekanikken uavhengig av partikkelens spinn.^[2]

Hamilton-operatoren for en spinn-1/2 partikkel blir nå

${\displaystyle H={1 \over 2m}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\pi }})^{2}+e\Phi }$

hvor ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}=\mathbf {p} -e\mathbf {A} }$ og den potensielle energien er ${\displaystyle V=e\Phi .}$ Her er p en operator og kommuterer generelt ikke med vektorpotennsialet. Direkte utregning gir

${\displaystyle \left[\pi _{i},\pi _{j}\right]=ie\hbar (\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i})=ie\hbar \,\varepsilon _{ijk}B_{k}}$

når høyre side uttrykkes ved Levi-Civita-symbolet. Da dette definerer et vektorprodukt, har man dermed operatorrelasjon

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\times {\boldsymbol {\pi }}=ie\hbar \mathbf {B} }$

Dette kan benyttes i Hamilton-operatoren som inneholder ${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\pi }})^{2}={\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}+i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\boldsymbol {\pi }}\times {\boldsymbol {\pi }}).}$ Pauli-ligningen tar dermed sin endelige form

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}\psi =\left[{1 \over 2m}(\mathbf {p} -e\mathbf {A} )^{2}-{e\hbar \over 2m}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} +e\Phi \right]\!\psi }$

I tillegg til det første leddet som følger fra klassisk mekanikk for partikler uten spinn, opptrer et nytt ledd som er rent kvantemekanisk da det er proporsjonalt med Plancks konstant. Det skyldes partikkelens spinn uttrykt ved Pauli-matrisene.^[3]

Et gitt magnetfelt B kan uttrykkes ved forskjellige vektorpotensial A som er forbundet ved gaugetransformasjoner. Det gjør det mulig å forlange at det skal ha egenskapen ∇⋅A = 0. Da kan man skrive at p⋅A = A⋅p som ellers ikke ville være tillatt da p er en operator som virker på alt som står til høyre for seg. Når magnetfeltet B i tillegg er konstant, kan vektorfeltet skrives på den enkle måten

${\displaystyle \mathbf {A} ={1 \over 2}\mathbf {B} \times \mathbf {r} }$

som er en annen fordel med denne «Coulomb-gaugen». Dermed blir

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} =2\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {L} }$

hvor ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ er dreieimpulsen til partikkelenn. Hamilton-operatoren i Pauli-ligningen blir nå

${\displaystyle H={1 \over 2m}\mathbf {p} ^{2}-{e \over 2m}\mathbf {B} \cdot (\mathbf {L} +2\mathbf {S} )+{e^{2} \over 8m}(\mathbf {B} \times \mathbf {r} )^{2}}$

der spinnoperatoren til partikkelen er ${\displaystyle \mathbf {S} =(\hbar /2){\boldsymbol {\sigma }}}$ og det elektriske potensialet er satt lik null.^[2]

Det midtre leddet viser at magnetfelt B kobler direkte til partikkelens dreieimpuls L og spinn S som magnetiske moment. Bidraget fra spinnet alene er

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=g{e \over 2m}\mathbf {S} }$

med g = 2 for det gyromagnetiske forholdet. Derimot er g = 1 for det tilsvarende bidraget fra den orbitale bevegelsen. Begge disse bidragene kan kombineres i Landés g-faktor. Da egenverdiene til S_z = ± ħ/2, blir størrelsen av det magnetiske momentet langs z-retningen gitt i enheter av «Bohr-magnetoner» μ_B = eħ/2m_e for elektronet med masse m_e.

Eksperiment viser at g-faktoren til elektronet er veldig nær g = 2. Aviket fra denne verdien kan forklares ved kvanteelektrodynamikk der også det elektromagnetiske feltet blir kvantisert.^[4]

Protonet har også spinn s = 1/2 og skulle i prinsippet også kunne beskrives ved Pauli-ligningen. Men dets gyromagnetiske forhold er ikke g = 2, men derimot g_p = 5.59. Dette forstås i dag ved at protonet er en sammensatt partikkel bestående av kvarker. Hver kvark har g = 2, men ulike ladninger. Det forklarer også at nøytronet har et magnetisk moment med g_n = - 3.83 selv om dets totale, elektriske ladning er null.^[5]

• J.A, Støvneng, Magnetic Moments and Spins, forelesning i TFY4215, NTNU (2020).