Elementy minimalny i maksymalny

Elementem minimalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym ${\displaystyle (P,\leqslant )}$ nazywamy każdy taki element ${\displaystyle x,}$ że nie ma w ${\displaystyle P}$ elementów mniejszych od niego. Symbolicznie:

${\displaystyle \forall y\in P:y\leqslant x\Rightarrow x=y.}$

Dualnie, elementem maksymalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym ${\displaystyle (P,\leqslant )}$ nazywamy każdy taki element ${\displaystyle x,}$ że nie ma w ${\displaystyle P}$ elementów większych od niego. Symbolicznie:

${\displaystyle \forall y\in P:x\leqslant y\Rightarrow x=y.}$

• W zbiorze częściowo uporządkowanym może istnieć więcej niż jeden element minimalny.
• Element minimalny nie musi być najmniejszym. Jeśli jednak w zbiorze istnieje element najmniejszy, to jest on równocześnie minimalny, i jest to wtedy jedyny element minimalny w tym zbiorze. Jeżeli w zbiorze istnieje dokładnie jeden element minimalny, to nie musi on być elementem najmniejszym.

Analogiczne własności ma element maksymalny.

• Rozważmy zbiór ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \{-1\},}$ gdzie ${\displaystyle \mathbb {N} }$ oznacza zbiór liczb naturalnych {1, 2, 3,...}, a relacja ${\displaystyle \preccurlyeq }$ częściowego porządku określona jest następująco:

${\displaystyle a\preccurlyeq b\iff (a\leqslant b,\,a,b\in \mathbb {N} \,\lor \,a=b=-1)}$

Z definicji wynika m.in., że ${\displaystyle -1\preccurlyeq -1,\,\,3\preccurlyeq 7}$  i nieprawda, że np. ${\displaystyle -1\preccurlyeq 2.}$

Jedynym elementem maksymalnym tej relacji jest −1, elementami minimalnymi są −1 oraz 1. W porządku tym nie ma elementu najmniejszego ani największego.

• W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku ‘<’ zdefiniowaną jako jest dopływem. Mamy na przykład:

„Białka” < „Dunajec” < „Wisła”

„Poprad” < „Dunajec” < „Wisła”

„Noteć” < „Warta” < „Odra”

„Moskwa” < „Oka” < „Wołga”

„Otava” < „Wełtawa” < „Łaba”

Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne). Elementami minimalnymi porządku są wszystkie rzeki, które nie mają dopływów, a elementu najmniejszego nie ma (byłaby nim rzeka wpadająca do każdej innej – bezpośrednio lub poprzez inny dopływ).

Uwaga: aby uznać ten przykład za poprawny model, należałoby przyjąć, że każda rzeka wpada do siebie samej.

• elementy najmniejszy i największy
• funkcje minimum i maksimum