Pierwszym klubem Strömberga w karierze był Lerklis IF. W 1979 Glenn Strömberg trafił do IFK Göteborg i tam też zadebiutował w lidze szwedzkiej. W pierwszym sezonie gry w IFK wywalczył wicemistrzostwo kraju, co powtórzył w 1981. Po swój pierwszy tytuł mistrzowski Strömberg sięgnął w 1982, a dołożył do tego także triumfy w Pucharze Szwecji oraz Pucharze UEFA (wystąpił w obu wygranych finałowych meczach z niemieckimHamburger SV).
W 1984 przeszedł do włoskiejAtalanty BC, która wówczas awansowała do Serie A. Za czasów gry w Atalancie spotkał tam kilku znanych zawodników jak choćby Roberto Donadoni, Robert Prytz, Trevor Francis czy Claudio Caniggia. W klubie z Bergamo występował przez 8 sezonów, a największym sukcesem był finał Pucharu Włoch w 1987. Karierę piłkarską Glenn Strömberg zakończył w 1992 mając 32 lata, a następnie zamieszkał w Bergamo.
W reprezentacji Szwecji Strömberg zadebiutował w 1982. W 1990 został powołany przez Ole Nordina do kadry na Mistrzostwa Świata we Włoszech. Tam był podstawowym zawodnikiem i zagrał we wszystkich trzech meczach grupowych: przegranych po 1:2 z Brazylią, Szkocją, w którym zdobył gola oraz Kostaryką. Karierę reprezentacyjną zakończył w 1991. Przez 9 lat rozegrał w kadrze 52 mecze.
