Hipoteza abc

Hipoteza abc (hipoteza Oesterle-Massera, hipoteza ABC) – zagadnienie z teorii liczb. Po raz pierwszy problem został przedstawiony przez Josepha Oesterlé i Davida Massera w 1985 roku^[1].

Przed sformułowaniem hipotezy wprowadzić należy kilka pojęć.

Niech dane będą względnie pierwsze liczby całkowite dodatnie ${\displaystyle a,b,c}$ spełniające równość ${\displaystyle a+b=c.}$

Zdefiniujemy następujące funkcje:

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}},}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$ oznacza część bezkwadratową iloczynu ${\displaystyle abc,}$ czyli iloczyn wszystkich różnych liczb pierwszych będących dzielnikami liczb ${\displaystyle a,b,c}$ (na przykład: ${\displaystyle \operatorname {rad} (12\cdot 9\cdot 13)=2\cdot 3\cdot 13=78,}$ ponieważ w rozkładzie 12, 9 i 13 na czynniki pierwsze występują tylko 2, 3 i 13).

Wiadomym jest, że istnieje nieskończenie wiele takich trójek liczb ${\displaystyle (a,b,c),}$ że ${\displaystyle q(a,b,c)>1.}$ Hipoteza ABC jest natomiast przypuszczeniem, że

Dla każdej liczby ${\displaystyle x>1}$ istnieje co najwyżej skończenie wiele trójek liczb ${\displaystyle (a,b,c)}$ spełniających warunek ${\displaystyle q(a,b,c)>x,}$

czyli, w szczególności, że istnieje skończenie wiele trójek spełniających ${\displaystyle q(a,b,c)>1,01,}$ ${\displaystyle q(a,b,c)>1,001}$ itd.

W sierpniu 2012 Shinichi Mochizuki opublikował na swojej stronie internetowej ponad 600-stronicową pracę, zawierającą dowód hipotezy ABC^[2]. Dowód jest w trakcie weryfikacji^[3][4]. W 2018 roku Peter Scholze i Jakob Stix opublikowali raport ukazujący błędy dowodu. Mochizuki nie zgodził się z krytyką^[5], a 3 kwietnia 2020 na konferencji prasowej w Kioto ogłoszono, że praca ta została zaakceptowana do druku w uczelnianym czasopiśmie naukowym Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. Kontrowersje budzi jednak fakt, że Mochizuki był jego redaktorem naczelnym. Prawdziwość dowodu wciąż zostaje niepotwierdzona, a zdania na temat jej autentyczności pozostaje sporna^[6][5].

W 2006 roku na wydziale matematyki Uniwersytetu w Leiden, we współpracy z holenderskim instytutem nauki w Kennislink rozpoczęto projekt ABC@home oparty na przetwarzaniu rozproszonym w infrastrukturze BOINC. Celem projektu jest szukanie trójek ${\displaystyle (a,b,c)}$ spełniających nierówność ${\displaystyle \mathrm {rad} (abc)<c.}$

W czasie badania hipotezy odkryto wiele ciekawych przypadków w teorii liczb. Oto niektóre z nich:

• rozwiązanie twierdzenia Rotha,
• udowodnienie wielkiego twierdzenia Fermata (Andrew Wiles, 1993),
• udowodnienie hipotezy Mordella (Gerd Faltings, 1983),
• kontrprzykłady dla hipotezy Erdősa-Woodsa (z wyjątkiem liczb skończonych),
• uogólnienie teorii Tijdemana,
• rozwiązanie hipotezy Granville-Langevin,
• rozwiązanie zmodyfikowanej hipotezy Szpiro^[1],
• w 1996 r. A. Dąbrowski wykazał, że z hipotezy ABC można wyprowadzić rozwiązanie równania Brocarda-Ramanujana^[7] – jest to uogólnienie twierdzenia Overholta^[8].

• Wiktor Bartol, Witold Sadowski, O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty, Warszawa 2005.

• Hipoteza ABC, wiw.pl [zarchiwizowane 2015-07-06] .
• Historia Twierdzenia Fermata, math.us.edu.pl [zarchiwizowane 2010-04-13] .
• Oficjalna strona projektu ABC@home, abcathome.com [zarchiwizowane 2015-11-30] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., abc Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-07-02].