Mucha mając niespełna 23 lata przeniósł się w 2005 z MŠK Žilina, gdzie przegrywał rywalizację z Miroslavem Königem, do Legii Warszawa. Działacze polskiego klubu zapłacili Słowakom 50 tysięcy euro ekwiwalentu za wyszkolenie. Mucha miał też ofertę od jednego z greckich pierwszoligowców, ale z niej nie skorzystał. Do Legii dołączył na zgrupowaniu w Austrii.
Przez pierwsze 14 miesięcy pobytu Muchy w Legii bramki stołecznej drużyny bronił nieprzerwanie Łukasz Fabiański. Ówczesny trener WojskowychDariusz Wdowczyk pierwszy raz postawił na Muchę po kilku słabszych meczach Fabiańskiego. Po transferze Fabiańskiego do Arsenalu FC Mucha został pierwszym bramkarzem Legii. Słowak szybko zapełnił lukę po Polaku, a w szatni stał się jedną z najważniejszych osób, zaraz po Aleksandarze Vukoviciu.
Podczas występów w warszawskim klubie Mucha uzyskał znaczące rekordy ligowe:
w sezonie 2007/08Orange Ekstraklasy przez 575 minut zachowywał czyste konto. Zdołał go pokonać dopiero piłkarz Widzewa ŁódźPiotr Kuklis w 35. minucie meczu 7. kolejki ligowej (Legia wygrała 3:1). Wliczając 59 minut meczu z sezonu 2006/07 z Odrą Wodzisław Śląski, Mucha nie puścił gola przez 634 minuty, co jest czwartym pod tym względem wynikiem w historii klubu. Lepszy wynik osiągnęli jedynie Władysław Grotyński (zachował czyste konto przez 762 minuty), Dušan Kuciak (759 minut) i Grzegorz Szamotulski (niepokonany przez 638 minut).
20 stycznia 2010 poinformował, że nie przedłuży kontraktu z Legią. Tego samego dnia podpisał w Maladze trzyletni kontrakt z angielskim Evertonem, który obowiązywał od 1 lipca 2010 (po wygaśnięciu umowy z warszawskim klubem).
Krylja Sowietow Samara
Po wygaśnięciu w 2013 umowy z Evertonem Mucha pozostawał wolnym zawodnikiem. 17 lipca 2013 podpisał dwuletni kontrakt z Kryljami Sowietow Samara[1]. Ostatni sezon kontraktu spędził na wypożyczeniu w Arsienale Tuła.
Slovan Bratysława
Po zakończeniu kontraktu z Kryljami podpisał umowę ze Slovanem Bratysława, którego barwy reprezentował w latach 2015–2017[2].
17 stycznia 2008 otrzymał od selekcjonera Jána Kociana pierwsze w swojej karierze powołanie do seniorskiej reprezentacji Słowacji. W towarzyskim spotkaniu Słowacy zmierzyli się Węgrami; Mucha stanął w ich bramce w 46. minucie, zmieniając Štefana Seneckýego.
14 października 2009 reprezentacja Słowacji z Muchą w składzie pokonała w ChorzowiePolskę 1:0, awansując pierwszy raz w historii do mistrzostw świata w Południowej Afryce. Mucha na mundialu wystąpił we wszystkich meczach reprezentacji w pełnym wymiarze czasowym (trzech grupowych oraz w spotkaniu 1/8 finału).
Kariera trenerska
W latach 2019–2021 był asystentem trenera bramkarzy w Legii Warszawa.
