Процедура Кэ́ли — Ди́ксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом) с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить из действительных чисел последовательно их расширения: комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т. д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением. Так, согласно данной теореме, действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными нормированными алгебрами с делением (над полем действительных чисел).

Свойства алгебр Кэли — Диксона

Алгебра	Размер- ность (n)	Упорядо- ченность	Свойства умножения				Отсутствие нетрив. делителей нуля
			Коммута- тивность	Ассоциа- тивность	Альтерна- тивность	Степенная ассоциа- тивность
Действитель- ные числа (${\displaystyle \mathbb {R} }$)	1	Да	Да	Да	Да	Да	Да
Комплексные числа (${\displaystyle \mathbb {C} }$)	2	Нет	Да	Да	Да	Да	Да
Кватернионы (${\displaystyle \mathbb {H} }$)	4	Нет	Нет	Да	Да	Да	Да
Октонионы (${\displaystyle \mathbb {O} }$)	8	Нет	Нет	Нет	Да	Да	Да
Седенионы (${\displaystyle \mathbb {S} }$)	16	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет
	> 16

Количество симметрий поля уменьшается при каждом применении процедуры Кэли — Диксона: сначала исчезает упорядоченность, затем коммутативность умножения, потом ассоциативность умножения и в итоге — альтернативность умножения (см. таблицу). Но при этом все алгебры сохраняют степенную ассоциативность умножения, а также по определению^[1] являются унитальными и их умножение дистрибутивно относительно сложения.

В более общем смысле процедура Кэли — Диксона переводит любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией в два раза большей размерности^[2]:45.

Если для некоторых чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ существуют понятия: умножения, сопряжённого числа и нормы числа как ${\displaystyle \ |a|^{2}=a{\bar {a}}}$ (см. композиционная алгебра), то эти понятия можно ввести и для упорядоченных пар чисел ${\displaystyle (a,b)}$:

• ${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-{\bar {d}}b,da+b{\bar {c}})}$ — закон умножения пар,

• ${\displaystyle {\overline {(a,b)}}=({\bar {a}},-b)}$ — сопряжённая пара.

• (расширенная) норма упорядоченной пары:

${\displaystyle |(a,b)|^{2}=(a,b){\overline {(a,b)}}=(a,b)({\bar {a}},-b)=(a{\bar {a}}+b{\bar {b}},ba-ba)=(|a|^{2}+|b|^{2},0)=|a|^{2}+|b|^{2}}$ — равна нулю только при a = b = 0.

• Если исходная алгебра была ассоциативной алгеброй с делением, то (расширенное) деление ${\displaystyle \ r/q}$ определяется как ${\displaystyle {\frac {r{\bar {q}}}{|q|^{2}}}}$ или ${\displaystyle {\frac {{\bar {q}}r}{|q|^{2}}}}$ — значит, из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.

• Если для чисел выполняется ${\displaystyle \ {\overline {ab}}={\bar {b}}\cdot {\bar {a}},}$ это выполняется и для упорядоченных пар:

${\displaystyle {\overline {(a,b)(c,d)}}=({\bar {c}}{\bar {a}}-{\bar {b}}d,-da-b{\bar {c}})=({\bar {c}},-d)({\bar {a}},-b)={\overline {(c,d)}}\cdot {\overline {(a,b)}}.}$

• Если исходная алгебра ассоциативна, то расширенная алгебра нормирована, поскольку:

${\displaystyle |rq|^{2}=(rq){\overline {(rq)}}=(rq)({\bar {q}}{\bar {r}})=r(q{\bar {q}}){\bar {r}}=|r|^{2}\cdot |q|^{2}.}$

В общем случае результат оказывается неассоциативной алгеброй.

Если исходная алгебра имеет единицу, то (1, 0) — единица в расширенной алгебре.

Если в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или x x* ассоциирует и коммутирует со всеми элементами, то такова же и расширенная алгебра. В частности, любой элемент порождает коммутативную *-алгебру, откуда следует свойство ассоциативности степеней.

1. Если исходная алгебра коммутативна и сопряжение тождественно, то расширенная алгебра коммутативна.
2. Если исходная алгебра коммутативна и ассоциативна, то расширенная алгебра ассоциативна.
3. Если исходная алгебра ассоциативна, и в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или x x* коммутирует со всеми элементами, то расширенная алгебра альтернативна.

Можно проследить на примере чисел, как из поля R с тождественным сопряжением получается поле C (*-алгебра с нетривиальным сопряжением), откуда получается некоммутативная *-алгебра (тело) H, откуда получается неассоциативная алгебра O, но альтернативная и нормированная, так что без делителей нуля. Дальнейшие алгебры будут иметь делители нуля, т. к. умножение перестанет быть совместимо с нормой.

Процедура Кэли — Диксона соответствует определению комплексных чисел как упорядоченных пар вещественных чисел.

Произвольный кватернион ${\displaystyle \ q=a+bi+cj+dk}$  можно представить в виде ${\displaystyle \ q=(a+bi)+(c+di)j}$ или, эквивалентно, ${\displaystyle \ q=z_{1}+z_{2}\cdot j,\quad z_{1}=a+b\cdot i,\quad z_{2}=c+d\cdot i,}$ где ${\displaystyle \ z_{1},z_{2}}$ — комплексные числа, поскольку ${\displaystyle \ i^{2}=-1}$ выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а ${\displaystyle k=i\cdot j}$.

Возьмём ещё один кватернион ${\displaystyle \ r=w_{1}+w_{2}j.}$ Перемножив и раскрыв скобки (т. к. умножение кватернионов ассоциативно), получим:

${\displaystyle \ qr=(z_{1}+z_{2}j)(w_{1}+w_{2}j)=z_{1}w_{1}+z_{1}w_{2}j+z_{2}jw_{1}+z_{2}jw_{2}j.}$

Поскольку ${\displaystyle \ zj=j{\bar {z}},\;zw=wz,}$ то, переставляя множители, получим: ${\displaystyle \ qr=(z_{1}w_{1}-{\bar {w_{2}}}z_{2})+(w_{2}z_{1}+z_{2}{\bar {w_{1}}})j.}$

Следовательно, кватернионы можно определять как выражения вида ${\displaystyle \ z_{1}+z_{2}\cdot j}$, удовлетворяющие вышеприведённой формуле умножения. Эта формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т. е. кватернионов с ${\displaystyle z_{2}=w_{2}=0}$).

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имеет квадрат, равный «−1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять^[3] как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см. алгебра Клиффорда). Правда, тогда норму и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут даже возникнуть и нетривиальные делители нуля. (См. напр. Тригинтадуонионы, так получаемые из Седенионов)

• Dickson, L. E. [in английский] (1919), "On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem", Annals of Mathematics, Second Series, 20 (3), Annals of Mathematics: 155—171, doi:10.2307/1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865
• HyperJeff Sketching the History of Hypercomplex Numbers 1996–2006
• И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. — Москва, "Наука". — 1973.
• Е.А. Каратаев «Гиперкомплексные числа. Классификатор»