Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

${\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots \ ,}$

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа ${\displaystyle d}$ (шага, или разности прогрессии):

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d}$^[1]

Любой член арифметической прогрессии равен первому её члену, сложенному с произведением разности прогрессии на число членов, предшествующих определяемому, т. е. он выражается формулой^[2]:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. Если каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, то такая прогрессия называется возрастающей; если меньше предыдущего, то убывающей.

Арифметическая прогрессия, разность которой больше нуля (${\displaystyle d>0}$), является возрастающей. Арифметическая прогрессия, разность которой меньше нуля (${\displaystyle d<0}$), является убывающей. Если разность равна нулю (${\displaystyle d=0}$), то последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей; она будет стационарной. Эти утверждения непосредственно следуют из определения арифметической прогрессии.

Член арифметической прогрессии с номером ${\displaystyle n}$ может быть найден по формулам

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

${\displaystyle a_{n}=a_{m}-(m-n)d}$

где ${\displaystyle a_{1}}$ — первый член прогрессии, ${\displaystyle d}$ — её разность, ${\displaystyle a_{m}}$ — член арифметической прогрессии с номером ${\displaystyle m}$.

Отметим, что в формулах общего члена ${\displaystyle n}$-й член прогрессии есть линейная функция. Поясним это так.

Если на координатной плоскости нанести точки с координатами ${\displaystyle \left(n;\,a_{n}\right)}$, где ${\displaystyle n}$ — номер (натуральное число), а ${\displaystyle a_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-й член некоторой арифметической прогрессии, то все точки будут принадлежать графику функции, задаваемой формулой:

${\displaystyle y=d\left(x-1\right)+a_{1},}$

где ${\displaystyle d}$ — это разность арифметической прогрессии, а ${\displaystyle a_{1}}$ — её первый член ^[3]. Это означает, что справедлива теорема:

Для того чтобы последовательность ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ являлась арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle a_{n}}$ являлась линейной функцией (от ${\displaystyle n}$), заданной на множестве натуральных чисел. ^[4]

Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны, т. е. ${\displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}\Longleftrightarrow n+m=k+l\quad \vert \;\forall \left(n,\,m,\,k,\,l\in \mathbb {N} \right)}$.

Словесная формулировка:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов.

Словесно-символьная формулировка: последовательность ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ есть арифметическая прогрессия ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ для любого её элемента выполняется условие

${\displaystyle a_{n}={\dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2.}$

Сумма первых ${\displaystyle n}$ членов арифметической прогрессии ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}$ может быть найдена по формулам

${\displaystyle S_{n}={\dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}$ , где ${\displaystyle a_{1}}$ — первый член прогрессии, ${\displaystyle a_{n}}$ — член с номером ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n}$ — количество суммируемых членов.

${\displaystyle S_{n}={\dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot ({\dfrac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+1)}$ — где ${\displaystyle a_{1}}$ — первый член прогрессии, ${\displaystyle a_{2}}$ — второй член прогрессии ${\displaystyle ,a_{n}}$ — член с номером ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle S_{n}={\dfrac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}\cdot n}$ , где ${\displaystyle a_{1}}$ — первый член прогрессии, ${\displaystyle d}$ — разность прогрессии, ${\displaystyle n}$ — количество суммируемых членов.

${\displaystyle S_{n}=a_{\frac {n+1}{2}}\cdot n}$, если ${\displaystyle n}$ — нечётное натуральное число.

Формулировка ещё одного факта: для всякой арифметической прогрессии при любом ${\displaystyle n}$ выполняется равенство:

${\displaystyle S_{2n}=S_{n}+{\dfrac {1}{3}}S_{3n}.}$

Примечание: ${\displaystyle S_{k}}$ — сумма ${\displaystyle k}$ первых членов арифметической прогрессии.

Предыдущее свойство имеет обобщение.

Для любых натуральных ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$ выполняется комплементарное свойство сумм^{[источник не указан 447 дней]}:

${\displaystyle {\dfrac {l-m}{k}}\cdot S_{k}+{\dfrac {m-k}{l}}\cdot S_{l}+{\dfrac {k-l}{m}}\cdot S_{m}=0.}$

Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от ${\displaystyle n}$ до ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle S_{m,n}=\sum _{i=n}^{m}a_{i}=a_{n}+a_{n+1}+\ldots +a_{m}}$ может быть найдена по формулам

${\displaystyle S_{m,n}={\dfrac {a_{m}+a_{n}}{2}}\cdot (m-n+1)}$ , где ${\displaystyle a_{m}}$ — член с номером ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle a_{n}}$ — член с номером ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle (m-n+1)}$ — количество суммируемых членов.

${\displaystyle S_{m,n}={\dfrac {2a_{n}+d\left(m-n\right)}{2}}\cdot \left(m-n+1\right),}$

где ${\displaystyle a_{n}}$ — член с номером ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle d}$ — разность прогрессии, ${\displaystyle (m-n+1)}$ — количество суммируемых членов.

Произведением первых ${\displaystyle n}$ членов арифметической прогрессии ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ называется произведение от ${\displaystyle a_{1}}$ до ${\displaystyle a_{n}}$, то есть выражение вида ${\displaystyle \prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot \ldots \cdot a_{n-2}\cdot a_{n-1}\cdot a_{n}.}$ Обозначение: ${\displaystyle P_{n}}$.

Свойство произведения:

• ${\displaystyle P_{n}={\dfrac {1}{2^{n}}}\prod \limits _{i=1}^{n}{\left(a_{1}+a_{n}+d\left(2i-\left[n+1\right]\right)\right)}}$.
• Если ${\displaystyle n}$ — нечётное натуральное число и ${\displaystyle n>1}$^[5], то произведение от ${\displaystyle a_{1}}$ до ${\displaystyle a_{n}}$ равно произведению их среднего арифметического и членов, равноотстоящих от него^[6]:${\displaystyle P_{n}=a_{\frac {n+1}{2}}\cdot \prod \limits _{i=1}^{\frac {n-1}{2}}{\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[id\right]}^{2}\right)}=a_{\frac {n+1}{2}}\cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{d}^{2}\right)}\cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[2d\right]}^{2}\right)}\cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[3d\right]}^{2}\right)}\cdot \ldots \cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[{\frac {n-3}{2}}\cdot d\right]}^{2}\right)}\cdot {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[{\frac {n-1}{2}}\cdot d\right]}^{2}\right)}.}$

Число множителей-скобок ${\displaystyle {\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[id\right]}^{2}\right)}}$ равно ${\displaystyle {\dfrac {n-1}{2}}}$, а в самом произведении ${\displaystyle a_{\frac {n+1}{2}}\cdot \prod \limits _{i=1}^{\frac {n-1}{2}}{\left(a_{\frac {n+1}{2}}^{2}-{\left[id\right]}^{2}\right)}}$ их составляет ${\displaystyle {\dfrac {n+1}{2}}}$ «штук».^[7]

Арифметическая прогрессия ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ расходится при ${\displaystyle d\neq 0}$ и сходится при ${\displaystyle d=0}$. Причём

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,\ d>0\\-\infty ,\ d<0\\a_{1},\ d=0\end{matrix}}\right.}$

Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(a_{1}+(n-1)d)}$, получаем искомый результат.

Пусть ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ — арифметическая прогрессия с разностью ${\displaystyle d}$ и число ${\displaystyle a>0}$. Тогда последовательность вида ${\displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots }$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем ${\displaystyle a^{d}}$.

Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

3, 5, 7, 9, 11, …

Треугольные числа ${\displaystyle 1,3,6,10,15,\ldots }$ также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию ${\displaystyle 2,3,4,5,\ldots }$. Таким образом, для треугольного числа ${\displaystyle u_{n}}$ с номером ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ имеет место равенство ${\displaystyle u_{n}={\dfrac {n(n+1)}{2}}}$.

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Тетраэдральные числа ${\displaystyle 1,4,10,20,35,\ldots }$ образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами.

Если ${\displaystyle \left[a_{i}\right]_{1}^{n}}$ — арифметическая прогрессия порядка ${\displaystyle m}$, то существует многочлен ${\displaystyle P_{m}(i)=c_{m}i^{m}+...+c_{1}i+c_{0}}$, такой, что для всех ${\displaystyle i\in \left\{1,....n\right\}}$ выполняется равенство ${\displaystyle a_{i}=P_{m}(i)}$^[8]

• Натуральный ряд ${\displaystyle 1,2,3,4,5,\ldots }$ — это арифметическая прогрессия, в которой первый член ${\displaystyle a_{1}=1}$, а разность ${\displaystyle d=1}$. Сумма ${\displaystyle n}$ первых членов натурального ряда называется «треугольным числом»:

${\displaystyle T_{n}=\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$

• ${\displaystyle 1,-1,-3,-5,-7}$ — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой ${\displaystyle a_{1}=1}$ и ${\displaystyle d=-2}$.
• Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу ${\displaystyle a}$, то это есть арифметическая прогрессия, в которой ${\displaystyle a_{1}=a}$ и ${\displaystyle d=0}$. В частности, ${\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\ldots }$ есть арифметическая прогрессия с разностью ${\displaystyle d=0}$.

Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как

${\displaystyle {\mathit {d={\frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}}}}$.

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$

то есть к формуле суммы первых ${\displaystyle n}$ чисел натурального ряда.

• Геометрическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.

• Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890. — Т. II. — С. 98.