Визначені для прямокутного трикутникатригонометричні функції є основним інструментом тригонометрії, що значно полегшує обчислення, оскільки ці функції дозволяють замінити геометричні побудови алгебраїчними операціями.
Титульна сторінка «Тригонометрії» (перевидання 1612 року) В. Пітіска, що дала назву однойменному розділу математики
Деякі відомості з науки, що пізніше одержала назву «тригонометрія», були ще у стародавніх єгиптян[1]. У папірусі Ахмеса є п'ять задач, що стосуються вимірювання пірамід, у яких згадується якась функція кута — «сект». Є думка, що «сект» відповідає котангенсу кута. Застосування цієї функції мало суто практичну причину: єгипетські архітектори будували піраміди, строго дотримуючись одного й того самого значення кута нахилу бічної грані до основи (52°) і кута між ребром та діагоналлю основи (42°). А для цього треба було знати відповідні відношення між лінійними елементами чотирикутної піраміди.
Вавилоняни так само мали деякі знання з цієї галузі математики: вони запровадили поділ кола на 360° та поділ градуса на 60 частин, що відповідало прийнятій у стародавній Месопотаміїшістдесятковій системі числення. Для вимірювання кутів вавилоняни користувалися примітивною астролябією.
Стародавні греки вміли розв'язувати багато тригонометричних задач, але вони застосовували геометричні, а не алгебраїчні методи.
Тригонометричну функцію синус вперше запровадили стародавні індійці в «Сур'я Сіддханті». Властивості цієї функції дослідив індійський математик 5 століттяАріабхата I[2]. Подальший внесок у розвиток тригонометрії зробили арабські математики. До 10 століття вони оперували всіма тригонометричними функціями і протабулювали їх. В Європу поняття тригонометричних функцій прийшло з перекладами праць аль-Баттані та Ат-Тусі. Однією з перших праць європейської математики, присвячених тригонометрії була книга «De Triangulis» німецького математика 15 століттяРегіомонтана. Проте, ще в 16 столітті тригонометрія була мало відома. Миколай Коперник змушений був посвятити її опису 2 окремих розділи в своїй праці «Про обертання небесних сфер» (лат.«De revolutionibus orbium coelestium»).
Тригонометрія ґрунтується на співвідношенні подібності. Трикутники з двома рівними кутами подібні, тому подібні прямокутні трикутники, в яких рівний один гострий кут. Відношення довжин сторін у подібних трикутників однакове, тому відношення сторін прямокутних трикутників залежить тільки від одного параметра — величини гострого кута. Ця обставина дозволяє означити тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс і косеканс, через відношення різних сторін прямокутного трикутника.
Тригонометричні функції кута θ всередині одиничного кола
Наведені у таблиці визначення дозволяють обчислити значення функцій для гострих кутів, тобто від 0° до 90° (від 0 до радіан). У XVIII столітті Леонард Ейлер дав сучасні, загальніші визначення, розширивши область визначення цих функцій на всю числову вісь. Якщо розглянути у прямокутній системі координатколо одиничного радіуса (див. малюнок) і відкласти від горизонтальної осі кут (додатня величина кута відкладається проти годинникової стрілки, у протилежному випадку — за годинниковою стрілкою). Точку перетину побудованої сторони кута з колом позначено A. Тоді:
Для кожної прямої тригонометричної функції існує обернена. Назви оберенних функцій утворюються додаванням префікса арк- до назви відповідної прямої фунцкії. Наприклад,
Теорема синусів стверджує, що відношення синуса кута до довжини протилежної сторони трикутника однакова для всіх кутів трикутника. Для плоского трикутника зі сторонами і відповідними протилежними до них кутами можна записати:
За теоремою косинусів, квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Для плоского трикутника зі сторонами і кутом , між сторонами :
або:
Теорема косинусів дозволяє визначити довжину третьої сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін та значення кута між ними.
Теорема тангенсів
Теорема тангенсів — теорема про співвідношення між двома сторонами довільного трикутника і тангенсами півсуми й піврізниці протилежних до них кутів записується рівнянням (формула Регіомонтана):
Площа трикутника
Площа трикутника теж може бути визначена через тригонометричні функції: вона дорівнює половині добутку прилеглих сторін на синус кута між ними:
Рівняння, в яких фігурують тригонометричні функції, називають тригонометричними. Найпростіші з них мають аналітичні розв'язки, завдяки існуванню обернених тригонометричних функцій. Оскільки тригонометричні функції періодичні, такі розв'язки не єдині, а визначаються з точністю до періоду.
Формула Ейлера надає зв'язок між математичним аналізом й тригонометрією, а також дозволяє інтерпретувати функції синуса і косинуса як зважені суми експоненціальної функції:
Наведені рівняння можуть бути отримані додаванням або відніманням формул Ейлера:
з подальшим розв'язанням відносно синуса або косинуса.
Також ці формули можуть слугувати визначенням тригонометричних функцій комплексною змінною. Наприклад, виконуючи підстановку x = iy, отримуємо:
Комплексні експоненти дозволяють спростити тригонометричні розрахунки, оскільки ними простіше маніпулювати, ніж синусоїдальними компонентами. Один з підходів передбачає перетворення синусоїд у відповідні експоненціальні вирази. Після спрощення результат виразу залишається дійсним. Суть другого підходу у представленні синусоїд як дійсних частин комплексного виразу і проведення маніпуляцій безпосередньо з комплексним виразом.
Сферична тригонометрія — розділ сферичної геометрії головними об'єктами якого є многокутники (особливо трикутники) на сфері та співвідношення між сторонами і кутами. Виникнення сферичної геометрії пов'язане з задачами сферичної астрономії.
Основними елементами сферичної геометрії є точки та великі кола сфери. Великі кола є геодезичними лініями сфери, тому вони в сферичній геометрії відіграють роль, аналогічну ролі прямих у планіметрії. Віддаль між двома точками в сферичній геометрії вимірюється кутом між радіусами сфери, проведеними в ці точки. Кут між двома «прямими» дорівнює двогранному кутові між площинами великих кіл, які визначають ці «прямі». Дві будь-які «прямі» в сферичній геометрії перетинаються у двох точках і розбивають поверхню сфери на 4 двокутники. Три «прямі», перетинаючись попарно, утворюють 8 сферичних трикутників. Ці трикутники мають багато незвичайних властивостей, які відрізняють їх від плоских трикутників. Наприклад, сума кутів сферичного трикутника завжди більша за 180° і менша за 540°.
Сторони і кути сферичного трикутника пов'язані залежностями:
де — сторони сферичного трикутника; — кути, протилежні до цих сторін; — радіус сфери.
Сферична тригонометрія дуже важлива в астрономічних обчисленнях, а також в орбітальній, космічній навігації та навігації на поверхні Землі.
Барановська Г. Г., Ясінський В. В. Тригонометрія. Індивідуальна атестаційна робота № 2.—К.: НТУУ «КПІ», 2001.— 108 с. — (Серія «На допомогу абітурієнту»)
Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. з поглибленим вивченням математики в середніх закладах освіти. — К.:Освіта, 2000. — 318 с.
Шкіль М. І., Слєпкань З. І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — 2-ге вид. — Зодіак-ЕКО, 2001. — 656 с.
Швецов К. І., Бевз Г. П. Довідник з елементарної математики. — 1967, К.: Наукова думка. — 656 с.
Андронов И. К., Окунев А. К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. — М.: Просвещение, 1967. — 648 с.
Волынский Б. А. Сферическая тригонометрия. — М.: Наука, 1977. — 136 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. — 830 c.